Resolva as seguintes equações em R :
0,5^-2 x-1 cdot 4^3 x+1=8^x-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a equação
0,5^-2x-1;cdot;4^3x+1;=;8^x-1
O conteúdo envolvido são equações exponenciais e vamos usar as propriedades de potências, transformando todas as bases em potências de 2.

Passo 2

Reescrevendo cada termo em base 2:
(0,5)^-2x-1 = l(2^-1r)^-2x-1 = 2^(-1)cdot(-2x-1) = 2^2x+1,
4^3x+1 = l(2^2r)^3x+1 = 2^2(3x+1) = 2^6x+2,
8^x-1 = l(2^3r)^x-1 = 2^3(x-1) = 2^3x-3

Passo 3

Substituindo essas expressões na equação original, o lado esquerdo fica
2^2x+1;cdot;2^6x+2 = 2^(2x+1)+(6x+2) = 2^8x+3,
logo a equação vira
2^8x+3 = 2^3x-3

Passo 4

Como as bases são iguais e não nulas, igualamos os expoentes:
8x+3 = 3x - 3
Isolando x:
8x - 3x = -3 - 3 Longrightarrow 5x = -6 Longrightarrow x = -65

Resposta

x = -dfrac65

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