Resolva, em R, as seguintes equações:
2 cdot log 7(x+3)=log 7(x^2+45)

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a equação
2 cdot log7(x+3)=log7l(x^2+45r)
O conteúdo é equações logarítmicas. Vamos usar (i) o domínio dos logaritmos, (ii) a propriedade alogbC=logbC^a e (iii) a injetividade da função log7.

Passo 2

Determinamos o domínio. É preciso ter
x+3>0 e x^2+45>0
Como x^2+45>0 para todo x, a única restrição é
x+3>0 ;Longrightarrow; x>-3

Passo 3

Aplicamos a propriedade de logaritmos que traz o fator 2 como expoente:
2cdotlog7(x+3) =log7l((x+3)^2r)
A equação fica
log7l((x+3)^2r) =log7l(x^2+45r)

Passo 4

Pela injetividade de log7, igualamos os argumentos:
(x+3)^2 = x^2+45

Passo 5

Expandindo e simplificando:
x^2 +6x+9 = x^2 +45 Longrightarrow 6x+9=45 Longrightarrow 6x=36 Longrightarrow x=6

Passo 6

Verificamos se x=6 atende ao domínio x>-3. Como 6>-3, a solução é válida.

Resposta

A única solução em R é x=6.

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