Resolva, em R, as seguintes equações:
log (4 x-1)-log (x+2)=log x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação em R\r
log(4x-1)-log(x+2)=log x\r
O conteúdo principal aqui é a propriedade de logaritmo da diferença, isto é\r
log a - log b = log!l(tfracabr),\r
além de resolver a equação algébrica resultante.

Passo 2

Precisamos impor o domínio dos logaritmos, exigindo que cada argumento seja positivo:\r
4x-1>0, x+2>0, x>0
Da primeira desigualdade vem x>tfrac14. A segunda dá x>-2, e a terceira dá x>0. Combinando tudo, o domínio é\r
x>tfrac14

Passo 3

Aplicando a propriedade de diferença de logaritmos, reescrevemos a equação como\r
log!l(tfrac4x-1x+2r)=log x

Passo 4

Como o logaritmo é uma função injetora no domínio, podemos igualar os argumentos:\r
4x-1x+2=x \r
Multiplicando ambos os lados por (x+2), obtemos\r
4x-1 = x(x+2)=x^2+2x
e então\r
x^2+2x -4x +1=0 ;Longrightarrow; x^2-2x+1=0 ;Longrightarrow; (x-1)^2=0
Logo, a única solução algébrica é\r
x=1

Passo 5

Verificamos se x=1 está no domínio x>tfrac14. Está, pois 1>tfrac14. Substituindo de volta:\r
log(4cdot1-1)-log(1+2)=log1 ;Longrightarrow; log3-log3=0 ;Longrightarrow; 0=0,
logo é solução válida.

Resposta

A única solução em R é x=1.

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