Resolva as seguintes equações:
24. x y^{\prime}=y+x e^{y / x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x\,y' = y + x e^{y/x}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A incógnita é a função y(x).
  • y' significa \dfrac{dy}{dx}.
  • A equação envolve termos \dfrac{y}{x} e e^{y/x}.
  • Não há condições iniciais; buscamos a solução geral (com constante de integração).

Passo 2

Primeiro passo de limpeza algébrica: isolo y'. Divido ambos os lados por x (assumindo x\neq 0, pois y/x aparece no enunciado):
y' = \frac{y}{x} + e^{y/x}.
Repare que o lado direito é uma função que depende de \dfrac{y}{x}. Sempre que aparecer uma combinação \dfrac{y}{x} repetida assim, uma mudança de variável do tipo v=\dfrac{y}{x} costuma simplificar bastante a equação — vou explicar isso no próximo passo.

Passo 3

Faço a substituição típica:
v = \frac{y}{x}.
Aqui v é uma função de x. Vou escrever y em função de v e x:
y = v x.
Agora calculo y' usando a regra do produto (porque v depende de x):
y' = \frac{d}{dx}(v x) = v + x\frac{dv}{dx}.
Expliquei: a derivada de v x é v vezes a derivada de x (que é 1) mais x vezes a derivada de v.

Passo 4

Substituo y e y' na equação original. A equação x y' = y + x e^{y/x} fica:
x\left(v + x\frac{dv}{dx}\right) = v x + x e^{v}.
Faço as multiplicações no lado esquerdo:
x v + x^{2}\frac{dv}{dx} = x v + x e^{v}.
Agora cancellamos x v dos dois lados (é o mesmo termo em ambos os lados), obtendo
x^{2}\frac{dv}{dx} = x e^{v}.
Divido por x (novamente assumindo x\neq 0):
x\frac{dv}{dx} = e^{v}.

Passo 5

A equação obtida é separável: posso escrever todas as partes com v de um lado e as partes com x do outro. Reescrevo:
\frac{dv}{dx} = \frac{e^{v}}{x}.
Separando variáveis:
e^{-v}\,dv = \frac{dx}{x}.
Expliquei: multipliquei ambos os lados por e^{-v} e por dx para ter uma integral só em v à esquerda e só em x à direita.

Passo 6

Integro os dois lados. Lembrando integrais básicas:
  • \displaystyle \int e^{-v}\,dv = -e^{-v} + C.
  • \displaystyle \int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C.
    Assim,
\int e^{-v}\,dv = \int \frac{dx}{x}
implica
-e^{-v} = \ln|x| + C,
onde C é a constante de integração (vou ajustar esse C no próximo passo para ficar mais limpo).

Passo 7

Isolo a expressão envolvendo v. Multiplico por -1 e renomeio a constante:
e^{-v} = C_1 - \ln|x|,
onde C_1 é uma constante arbitrária (igual a -C). Esta é uma forma implícita conveniente da solução — observe que exige C_1 - \ln|x|>0 se quisermos tomar logaritmo depois.
Posso escrever essa relação em termos de y lembrando que v=\dfrac{y}{x}. Uma forma implícita muito agradável (evita tomar log de log) é rearranjar a equação anterior original obtida em Passo 6:
-e^{-y/x} = \ln|x| + C
ou equivalentemente
e^{-y/x} + \ln|x| = C',
onde C' é constante arbitrária. Essa forma é útil porque é explícita quanto à constante e evita restrições extras de domínio ao apresentar a solução implicitamente.

Passo 8

Se quisermos a forma explícita y(x), partimos de e^{-v}=C_1-\ln|x| e fazemos logaritmo:
-e^{-v} = -\bigl(C_1-\ln|x|\bigr)\quad\Rightarrow\quad -v = \ln\bigl(C_1-\ln|x|\bigr).
Portanto
v = -\ln\bigl(C_1-\ln|x|\bigr).
Voltando para y com y = x v:
y(x) = -x\ln\bigl(C_1-\ln|x|\bigr).
Essa é a solução explícita, válida quando C_1-\ln|x|>0. A solução implícita
e^{-y/x} + \ln|x| = C'
é equivalente e às vezes preferível por manter menos restrições explícitas sobre x e a constante.

Resposta

e^{-y/x} + \ln|x| = C
ou equivalentemente
y(x) = -x\ln\bigl(C_1-\ln|x|\bigr),
com C,C_1 constantes arbitrárias (as expressões são equivalentes, com domínio apropriado).

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