Resolva as seguintes equações:
24.
24.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações relevantes fornecidas:
- A incógnita é a função
. -
significa . - A equação envolve termos
e . - Não há condições iniciais; buscamos a solução geral (com constante de integração).
Passo 2
Primeiro passo de limpeza algébrica: isolo
. Divido ambos os lados por
(assumindo
, pois
aparece no enunciado):
Repare que o lado direito é uma função que depende de
. Sempre que aparecer uma combinação
repetida assim, uma mudança de variável do tipo
costuma simplificar bastante a equação — vou explicar isso no próximo passo.
Passo 3
Faço a substituição típica:
Aqui
é uma função de
. Vou escrever
em função de
e
:
Agora calculo
usando a regra do produto (porque
depende de
):
Expliquei: a derivada de
é
vezes a derivada de
(que é
) mais
vezes a derivada de
.
Passo 4
Substituo
e
na equação original. A equação
fica:
Faço as multiplicações no lado esquerdo:
Agora cancellamos
dos dois lados (é o mesmo termo em ambos os lados), obtendo
Divido por
(novamente assumindo
):
Passo 5
A equação obtida é separável: posso escrever todas as partes com
de um lado e as partes com
do outro. Reescrevo:
Separando variáveis:
Expliquei: multipliquei ambos os lados por
e por
para ter uma integral só em
à esquerda e só em
à direita.
Passo 6
Integro os dois lados. Lembrando integrais básicas:
-
. -
.
Assim,
implica
onde
é a constante de integração (vou ajustar esse
no próximo passo para ficar mais limpo).
Passo 7
Isolo a expressão envolvendo
. Multiplico por
e renomeio a constante:
onde
é uma constante arbitrária (igual a
). Esta é uma forma implícita conveniente da solução — observe que exige
se quisermos tomar logaritmo depois.
Posso escrever essa relação em termos de
lembrando que
. Uma forma implícita muito agradável (evita tomar log de log) é rearranjar a equação anterior original obtida em Passo 6:
ou equivalentemente
onde
é constante arbitrária. Essa forma é útil porque é explícita quanto à constante e evita restrições extras de domínio ao apresentar a solução implicitamente.
Passo 8
Se quisermos a forma explícita
, partimos de
e fazemos logaritmo:
Portanto
Voltando para
com
:
Essa é a solução explícita, válida quando
. A solução implícita
é equivalente e às vezes preferível por manter menos restrições explícitas sobre
e a constante.
Resposta
ou equivalentemente
com
constantes arbitrárias (as expressões são equivalentes, com domínio apropriado).