Resolva as seguintes equações:
26. y^{\prime}=\frac{y}{x}+\cos ^{2}\left(\frac{y}{x}\right)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y'=\frac{y}{x}+\cos^{2}\!\left(\frac{y}{x}\right)
e pede para resolver (ou seja, encontrar a família de soluções y(x)). Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação envolve o quociente \frac{y}{x}, portanto x=0 é um ponto onde a equação não está bem definida — devemos tomar x\neq 0.
  • Buscaremos a solução geral (constante de integração C incluída) e também verificar se existem soluções especiais constantes em termos de \frac{y}{x}.

Passo 2

Observação útil: o lado direito depende apenas de \frac{y}{x}. Quando isso acontece, uma mudança de variável padrão é definir
v=\frac{y}{x}.
Expliquei isso porque quando a ED depende apenas da razão y/x, a substituição v=y/x costuma transformar a equação numa equação de variáveis separáveis em v e x.

Passo 3

Com v=\dfrac{y}{x} temos y=vx. Vamos calcular y' em termos de v e x usando a regra do produto:
y'=\frac{d}{dx}(v x)=v + x\frac{dv}{dx}.
Aqui eu usei que a derivada de v(x)\cdot x é v'\cdot x + v\cdot 1, que escrevi como x\,dv/dx + v.

Passo 4

Substituindo y e y' na equação original:
v + x\frac{dv}{dx} = v + \cos^{2}(v).
Podemos cancelar v dos dois lados (eles aparecem iguais), ficando
x\frac{dv}{dx}=\cos^{2}(v).

Passo 5

Antes de separar variáveis, verificamos possíveis soluções constantes em v. Se v for constante então dv/dx=0, daí a equação implica
0=\cos^{2}(v),
isto é \cos(v)=0. As soluções para isso são
v=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Essas são soluções singulares constantes em v. Revertendo para y, obtemos as soluções lineares
y=x\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z},
que são soluções válidas da ED porque, ao substituir, y'=\frac{d}{dx}(x c)=c e \frac{y}{x}=c com \cos^{2}\text{(c)}=0, então a igualdade se mantém.

Passo 6

Para as soluções com v não constante (ou seja, onde \cos(v)\neq 0 em algum intervalo), separamos variáveis a partir de
x\frac{dv}{dx}=\cos^{2}(v).
Passando os termos para os lados apropriados:
\frac{dv}{\cos^{2}(v)}=\frac{dx}{x}.
Note que \dfrac{1}{\cos^{2}(v)}=\operatorname{sec}^{2}(v). A técnica aqui é “separação de variáveis”: deixar todos os termos em v multiplicando dv num lado e todos os termos em x multiplicando dx no outro.

Passo 7

Integramos os dois lados (integrais indefinidas):
\int \operatorname{sec}^{2}(v)\,dv=\int \frac{dx}{x}.
Sabemos que \dfrac{d}{dv}\tan(v)=\operatorname{sec}^{2}(v), logo a integral do lado esquerdo é \tan(v). A integral do lado direito é \ln|x|. Assim obtemos
\tan(v)=\ln|x|+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 8

Agora isolamos v aplicando a função inversa da tangente:
v=\arctan\!\big(\ln|x|+C\big).
Lembrando que v=\dfrac{y}{x}, voltamos a y:
y=x\,\arctan\!\big(\ln|x|+C\big).
Essa é a família de soluções obtida pela separação de variáveis (válida para x\neq 0 e para ramos onde \cos(v)\neq 0 — mas a fórmula já cobre os casos contínuos).

Passo 9

Verificação rápida (útil para ter confiança): defina v(x)=\arctan(\ln|x|+C) e y=xv. Então
y' = v + x\frac{dv}{dx}.
Calculando \dfrac{dv}{dx}: como \dfrac{d}{du}\arctan(u)=\dfrac{1}{1+u^{2}} e u=\ln|x|+C tem derivada 1/x, obtemos
\frac{dv}{dx}=\frac{1}{1+(\ln|x|+C)^{2}}\cdot\frac{1}{x}.
Assim
y'=v + x\cdot\frac{1}{1+(\ln|x|+C)^{2}}\cdot\frac{1}{x} = v + \frac{1}{1+(\ln|x|+C)^{2}}.
Como v=\arctan(\ln|x|+C), note a identidade trigonométrica
\cos^{2}(\theta)=\frac{1}{1+\tan^{2}(\theta)},
com \theta=v e \tan(v)=\ln|x|+C. Logo
\frac{1}{1+(\ln|x|+C)^{2}}=\cos^{2}(v).
Portanto y'=v+\cos^{2}(v), isto é
y'=\frac{y}{x}+\cos^{2}\!\left(\frac{y}{x}\right),
confirmando que a função encontrada satisfaz a ED.

Passo 10

Resumo das soluções: temos a família geral obtida por separação de variáveis e, além disso, as soluções singulares constantes em v (linhas y=cx com \cos^{2}\text{(c)}=0). Lembre-se de que todas as soluções são válidas para x\neq 0.

Resposta

y=x\,\arctan\!\big(\ln|x|+C\big),\;C\in\mathbb{R}\n y=x\left(\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right),\;k\in\mathbb{Z}

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