Resolva as seguintes equações:
26.
26.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede para resolver (ou seja, encontrar a família de soluções
). Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A incógnita é a função
. - A equação envolve o quociente
, portanto é um ponto onde a equação não está bem definida — devemos tomar . - Buscaremos a solução geral (constante de integração
incluída) e também verificar se existem soluções especiais constantes em termos de .
Passo 2
Observação útil: o lado direito depende apenas de
. Quando isso acontece, uma mudança de variável padrão é definir
Expliquei isso porque quando a ED depende apenas da razão
, a substituição
costuma transformar a equação numa equação de variáveis separáveis em
e
.
Passo 3
Com
temos
. Vamos calcular
em termos de
e
usando a regra do produto:
Aqui eu usei que a derivada de
é
, que escrevi como
.
Passo 4
Substituindo
e
na equação original:
Podemos cancelar
dos dois lados (eles aparecem iguais), ficando
Passo 5
Antes de separar variáveis, verificamos possíveis soluções constantes em
. Se
for constante então
, daí a equação implica
isto é
. As soluções para isso são
Essas são soluções singulares constantes em
. Revertendo para
, obtemos as soluções lineares
que são soluções válidas da ED porque, ao substituir,
e
com
, então a igualdade se mantém.
Passo 6
Para as soluções com
não constante (ou seja, onde
em algum intervalo), separamos variáveis a partir de
Passando os termos para os lados apropriados:
Note que
. A técnica aqui é “separação de variáveis”: deixar todos os termos em
multiplicando
num lado e todos os termos em
multiplicando
no outro.
Passo 7
Integramos os dois lados (integrais indefinidas):
Sabemos que
, logo a integral do lado esquerdo é
. A integral do lado direito é
. Assim obtemos
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora isolamos
aplicando a função inversa da tangente:
Lembrando que
, voltamos a
:
Essa é a família de soluções obtida pela separação de variáveis (válida para
e para ramos onde
— mas a fórmula já cobre os casos contínuos).
Passo 9
Verificação rápida (útil para ter confiança): defina
e
. Então
Calculando
: como
e
tem derivada
, obtemos
Assim
Como
, note a identidade trigonométrica
com
e
. Logo
Portanto
, isto é
confirmando que a função encontrada satisfaz a ED.
Passo 10
Resumo das soluções: temos a família geral obtida por separação de variáveis e, além disso, as soluções singulares constantes em
(linhas
com
). Lembre-se de que todas as soluções são válidas para
.