Resolva as seguintes equações:
28.
28.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas e observações iniciais:
- A incógnita é a função
. - A derivada é
. - Para manipular a equação vamos dividir por
, portanto precisamos trabalhar em intervalos onde . (No ponto isolado a equação reduz a , que só diz no ponto, mas não define solução contínua global; por isso procuramos soluções definidas em intervalos com .) - A equação pode ser escrita como uma equação de primeira ordem do tipo
, ou seja, é homogênea em e . A estratégia será a substituição .
Passo 2
Primeiro reescrevo a equação dividindo por
(lembrando
):
Agora faço a substituição habitual para equações homogêneas:
Explico a ideia:
representa a razão
. Essa substituição transforma a equação em uma em
e
que normalmente é separável.
Passo 3
Calculo
em função de
e
:
Substituo na equação:
Isolando
,
Agora reorganizo para separar variáveis:
Passo 4
Para integrar a parte em
uso um truque algébrico com a conjugada. Observação:
porque
.
Portanto a igualdade separada fica
Portanto a igualdade separada fica
Agora integremos os dois lados.
Passo 5
Integro membro a membro:
O lado direito é simples:
Agora o lado esquerdo se separa em duas integrais:
A segunda é imediata:
Para a primeira,
, uso a substituição hiperbólica
. Explicando:
- Se
então e . - Assim
.
E, então
Voltando para
:
-
. -
.
Assim
Portanto o lado esquerdo completo é
Passo 6
Igualando com o lado direito
temos
Multiplico por
e incorporo a constante em
:
Finalmente volto à variável original
usando
. A solução implícita geral fica
válida em intervalos onde
. Aqui
é constante arbitrária real.
Resposta
com
e
constante arbitrária.