Resolva as seguintes equações:
28. x y^{\prime}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x\,y'=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A derivada é y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • Para manipular a equação vamos dividir por x, portanto precisamos trabalhar em intervalos onde x\neq0. (No ponto isolado x=0 a equação reduz a 0=\lvert y(0)\rvert, que só diz y(0)=0 no ponto, mas não define solução contínua global; por isso procuramos soluções definidas em intervalos com x\neq0.)
  • A equação pode ser escrita como uma equação de primeira ordem do tipo y'=f\!\left(\dfrac{y}{x}\right), ou seja, é homogênea em x e y. A estratégia será a substituição y=vx.

Passo 2

Primeiro reescrevo a equação dividindo por x (lembrando x\neq0):
\frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x}=\sqrt{1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}}.
Agora faço a substituição habitual para equações homogêneas:
y=vx\quad\text{onde}\quad v=v(x).
Explico a ideia: v representa a razão y/x. Essa substituição transforma a equação em uma em v e x que normalmente é separável.

Passo 3

Calculo y' em função de v e dv/dx:
\frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.
Substituo na equação:
v + x\frac{dv}{dx}=\sqrt{1+v^{2}}.
Isolando dv/dx,
x\frac{dv}{dx}=\sqrt{1+v^{2}}-v.
Agora reorganizo para separar variáveis:
\frac{dv}{\sqrt{1+v^{2}}-v}=\frac{dx}{x}.

Passo 4

Para integrar a parte em v uso um truque algébrico com a conjugada. Observação:
\frac{1}{\sqrt{1+v^{2}}-v}=\sqrt{1+v^{2}}+v,
porque (\sqrt{1+v^{2}}-v)(\sqrt{1+v^{2}}+v)=1+v^{2}-v^{2}=1.
Portanto a igualdade separada fica
\bigl(\sqrt{1+v^{2}}+v\bigr)\,dv=\frac{dx}{x}.
Agora integremos os dois lados.

Passo 5

Integro membro a membro:
\int\bigl(\sqrt{1+v^{2}}+v\bigr)\,dv=\int\frac{dx}{x}.
O lado direito é simples:
\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C.
Agora o lado esquerdo se separa em duas integrais:
\int\sqrt{1+v^{2}}\,dv+\int v\,dv.
A segunda é imediata:
\int v\,dv=\frac{v^{2}}{2}.
Para a primeira, \int\sqrt{1+v^{2}}\,dv, uso a substituição hiperbólica v=\operatorname{sinh} t. Explicando:
  • Se v=\operatorname{sinh} t então dv=\operatorname{cosh} t\,dt e \sqrt{1+v^{2}}=\sqrt{1+\operatorname{sinh}^{2}t}=\operatorname{cosh} t.
  • Assim \int\sqrt{1+v^{2}}\,dv=\int \operatorname{cosh}^{2}t\,dt.
    E \operatorname{cosh}^{2}t=\tfrac{1+\operatorname{cosh} 2t}{2}, então
\int \operatorname{cosh}^{2}t\,dt=\frac{1}{2}\int(1+\operatorname{cosh} 2t)\,dt=\frac{1}{2}\bigl(t+\tfrac{1}{2}\operatorname{sinh} 2t\bigr)+C.
Voltando para v:
  • t=\operatorname{arsinh}(v)=\ln\!\bigl(v+\sqrt{1+v^{2}}\bigr).
  • \operatorname{sinh} 2t=2\operatorname{sinh} t\operatorname{cosh} t=2v\sqrt{1+v^{2}}.
    Assim
\int\sqrt{1+v^{2}}\,dv=\frac{1}{2}\Bigl(\ln\!\bigl(v+\sqrt{1+v^{2}}\bigr) + v\sqrt{1+v^{2}}\Bigr)+C.
Portanto o lado esquerdo completo é
\frac{1}{2}\Bigl(\ln\!\bigl(v+\sqrt{1+v^{2}}\bigr)+v\sqrt{1+v^{2}}\Bigr)+\frac{v^{2}}{2}.

Passo 6

Igualando com o lado direito \ln|x|+C temos
\frac{1}{2}\Bigl(\ln\!\bigl(v+\sqrt{1+v^{2}}\bigr)+v\sqrt{1+v^{2}}+v^{2}\Bigr)=\ln|x|+C.
Multiplico por 2 e incorporo a constante em C_{1}:
\ln\!\bigl(v+\sqrt{1+v^{2}}\bigr)+v\sqrt{1+v^{2}}+v^{2}=2\ln|x|+C_{1}.
Finalmente volto à variável original y usando v=\dfrac{y}{x}. A solução implícita geral fica
\ln\!\Bigl(\frac{y}{x}+\sqrt{1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}}\Bigr)+\frac{y}{x}\sqrt{1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}}+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}=2\ln|x|+C_{1},
válida em intervalos onde x\neq0. Aqui C_{1} é constante arbitrária real.

Resposta

\ln\!\Bigl(\frac{y}{x}+\sqrt{1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}}\Bigr)+\frac{y}{x}\sqrt{1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}}+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}=2\ln|x|+C,
com x\neq0 e C constante arbitrária.

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