Resolva as seguintes equações de Bernoulli
y^prime=r y(1-y), com r>0 y=11+(1y0-1) e^-r t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de Bernoulli
y' = r,y,(1 - y),
com r>0 e condição inicial y(0)=y0. Vamos aplicar o método de Bernoulli, que transforma essa equação não linear numa equação linear por meio de substituição adequada.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma padrão de Bernoulli:
y' - r,y = -,r,y^2
Aqui o termo não linear é y^2, ou seja, o expoente de Bernoulli é n=2.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = y^1-n = y^-1
Calculamos sua derivada:
u' = ddt(y^-1) = -y'y^2
Substituindo y' da equação original, obtemos a equação linear em u:
u' + r,u = r

Passo 4

Para resolver
u' + r,u = r
usamos o fator integrante
mu(t)=e^integral r,dt=e^r t.
Multiplicando a equação por mu(t) temos
ddtl(u,e^r tr)=r,e^r t
Integrando em t:
u,e^r t = integral r,e^r t,dt = e^r t + C Longrightarrow u(t)=1 + C,e^-r t

Passo 5

Usamos a condição inicial u(0)=1/y0:
1y0 = 1 + C Longrightarrow C = 1y0 - 1
Logo
u(t)=1 + l(1y0 - 1r)e^-r t
Voltando à variável y,
y(t)=1u(t) =11 +l(1y0 - 1r)e^-r t

Resposta

y(t)=11+l(1y0-1r)e^-r t

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