Resolva as seguintes equações de Bernoulli
, com
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de Bernoulli
com
e condição inicial
. Vamos aplicar o método de Bernoulli, que transforma essa equação não linear numa equação linear por meio de substituição adequada.
Passo 2
Escrevemos a equação na forma padrão de Bernoulli:
Aqui o termo não linear é
, ou seja, o expoente de Bernoulli é
.
Passo 3
Fazemos a substituição
Calculamos sua derivada:
Substituindo
da equação original, obtemos a equação linear em
:
Passo 4
Para resolver
usamos o fator integrante
.
Multiplicando a equação por temos
Multiplicando a equação por
Integrando em
:
Passo 5
Usamos a condição inicial
:
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Voltando à variável
,