Resolva os seguintes PVI’s:
\left\{\begin{array}{l}\left(9 x^{2}+y-1\right) d x-(4 y-x) d y=0 \\\ y(1)=0 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
(9x^{2}+y-1)\,dx \;-\;(4y-x)\,dy \;=\;0,
com condição inicial y(1)=0.
O conteúdo é equação diferencial exata de primeira ordem. Vamos verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar a função potencial.

Passo 2

Definimos
M(x,y)=9x^{2}+y-1 \quad\text{e}\quad N(x,y)=-(4y-x)=x-4y.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=1, \quad \frac{\partial N}{\partial x}=1.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M \quad\text{e}\quad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N.
Integramos M em relação a x:
\Phi(x,y)=\int(9x^{2}+y-1)\,dx =3x^{3}+x\,y -x +h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Derivamos \Phi em relação a y e igualamos a N:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = x + h'(y) \overset{!}{=} x - 4y \;\Longrightarrow\; h'(y)=-4y \;\Longrightarrow\; h(y)=-2y^{2}.

Passo 5

Logo a solução implícita geral é
3x^{3}+x\,y -x -2y^{2}=C.
Usando y(1)=0, obtemos
3\cdot1^{3}+1\cdot0 -1 -2\cdot0^{2}=2 \;\Longrightarrow\; C=2.

Resposta

3x^{3}+x\,y -x -2y^{2}=2.

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