Resolva os seguintes PVI’s:
\left\{\begin{array}{l}(2 x-y) d x+(2 y-x) d y=0 \\\ y(1)=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(2x - y)\,dx + (2y - x)\,dy = 0
com a condição inicial y(1)=3.
Este é um caso de equação exata, onde vamos verificar a exatidão, encontrar uma função potencial F(x,y) tal que dF=0, aplicar a condição inicial para determinar a constante de integração e, por fim, obter y(x).

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 2x - y, \qquad N(x,y) = 2y - x.
Para ser exata, deve valer
\frac{\partial M}{\partial y} \;=\;\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculando,
\frac{\partial M}{\partial y} = -1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = -1,
logo a equação é exata.

Passo 3

Procuramos F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x} = M(x,y) = 2x - y.
Integrando em relação a x,
F(x,y) = \int (2x - y)\,dx = x^2 - x\,y + h(y),
onde h(y) é uma função de y ainda desconhecida.

Passo 4

Agora usamos
\frac{\partial F}{\partial y} = -x + h'(y)
que deve ser igual a N(x,y)=2y - x. Assim,
-x + h'(y) = 2y - x \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = 2y \quad\Longrightarrow\quad h(y) = y^2 + C_1.
Como C_1 será absorvida na constante geral, basta tomar h(y)=y^2.

Passo 5

Portanto a função potencial é
F(x,y) = x^2 - x\,y + y^2.
A solução implícita da equação diferencial é
F(x,y) = C \;\Longrightarrow\; x^2 - x\,y + y^2 = C.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(1)=3:
1^2 - 1\cdot 3 + 3^2 = C \;\Longrightarrow\; 1 - 3 + 9 = C \;\Longrightarrow\; C = 7.
Logo a relação implícita fica
x^2 - x\,y + y^2 = 7.

Passo 7

Para obter y em função de x, resolvemos
y^2 - x\,y + (x^2 - 7) = 0
como equação quadrática em y. A fórmula de Bhaskara dá
y = \frac{x \pm \sqrt{x^2 - 4(x^2 - 7)}}{2} = \frac{x \pm \sqrt{-3x^2 + 28}}{2}.
No ponto x=1 temos y(1)=3, o que corresponde ao sinal “ +”. Portanto escolhemos
y(x) = \frac{x + \sqrt{28 - 3x^2}}{2}.

Resposta

y(x) = \frac{x + \sqrt{28 - 3x^2}}{2}.

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