Resolva os seguintes PVI’s:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com a condição inicial
.
Este é um caso de equação exata, onde vamos verificar a exatidão, encontrar uma função potencial tal que
, aplicar a condição inicial para determinar a constante de integração e, por fim, obter
.
Este é um caso de equação exata, onde vamos verificar a exatidão, encontrar uma função potencial
Passo 2
Identificamos
Para ser exata, deve valer
Calculando,
logo a equação é exata.
Passo 3
Procuramos
tal que
Integrando em relação a
,
onde
é uma função de
ainda desconhecida.
Passo 4
Agora usamos
que deve ser igual a
. Assim,
Como
será absorvida na constante geral, basta tomar
.
Passo 5
Portanto a função potencial é
A solução implícita da equação diferencial é
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
:
Logo a relação implícita fica
Passo 7
Para obter
em função de
, resolvemos
como equação quadrática em
. A fórmula de Bhaskara dá
No ponto
temos
, o que corresponde ao sinal “
”. Portanto escolhemos