Resolva as seguintes equações de Bernoulli.
y^{\prime}+x y=x y^{3}

Passo 1

O enunciado apresenta a equação de Bernoulli
y' + x\,y = x\,y^3
que está no formato
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^n
com P(x)=x, Q(x)=x e n=3. Para resolver, vamos usar a substituição padrão
z = y^{1-n} = y^{-2}.

Passo 2

Primeiro expressamos y' em termos de z'. Como z = y^{-2}, temos
z' = -2\,y^{-3}\,y',
ou seja
y^{-3}\,y' = -\tfrac12\,z'.
Agora dividimos a equação original por y^3:
y^{-3}y' + x\,y^{-2} = x.
Substituindo y^{-3}y' = -\tfrac12 z' e y^{-2}=z, obtém-se
-\tfrac12\,z' + x\,z = x.
Multiplicando tudo por -2, fica
z' - 2x\,z = -2x.

Passo 3

A equação em z é linear de coeficientes variáveis. O fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(\int -2x\,dx\Bigr) = e^{-x^2}.
Multiplicando a equação por \mu temos
e^{-x^2}z' -2x\,e^{-x^2}z = -2x\,e^{-x^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(z\,e^{-x^2}\bigr) = -2x\,e^{-x^2}.
Integrando ambos os lados:
z\,e^{-x^2} = \int -2x\,e^{-x^2}\,dx = e^{-x^2} + C
onde C é constante de integração. Logo
z(x) = 1 + C\,e^{x^2}.

Passo 4

Voltando à variável y, lembramos que z=y^{-2}. Assim
y^{-2} = 1 + C\,e^{x^2} \quad\Longrightarrow\quad y = \pm\bigl(1 + C\,e^{x^2}\bigr)^{-\tfrac12}.

Resposta

y(x) = \pm\bigl(1 + C\,e^{x^2}\bigr)^{-\tfrac12},
onde C é uma constante arbitrária.

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