Verifique que a EDO é exata e encontre uma solução que satisfaça y(1)=1.
(\cos (y)+y \cos (x)) d x+(\operatorname{sen}(x)-x \operatorname{sen}(y)) d y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO
(\cos(y)+y\cos(x))\,dx + (\operatorname{sen}(x)-x\operatorname{sen}(y))\,dy = 0
e pede para verificar que ela é exata e, em seguida, encontrar a solução que satisfaça y(1)=1. Vamos usar o método de equações exatas, que consiste em identificar
M(x,y)=\cos(y)+y\cos(x), \quad N(x,y)=\operatorname{sen}(x)-x\operatorname{sen}(y),
verificar \partial M/\partial y = \partial N/\partial x e, depois, achar uma função potencial \Phi(x,y) cuja diferencial total seja M\,dx+N\,dy.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\cos(y)+y\cos(x)\bigr) =-\operatorname{sen}(y)+\cos(x),
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\operatorname{sen}(x)-x\operatorname{sen}(y)\bigr) =\cos(x)-\operatorname{sen}(y).
Como
\frac{\partial M}{\partial y} =-\operatorname{sen}(y)+\cos(x) \quad\text{e}\quad \frac{\partial N}{\partial x} =\cos(x)-\operatorname{sen}(y),
temos \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, logo a EDO é exata.

Passo 3

Procuramos \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y).
Integramos M em relação a x:
\Phi(x,y) =\int\bigl(\cos(y)+y\cos(x)\bigr)\,dx =x\cos(y)+y\operatorname{sen}(x)+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Agora impomos
\frac{\partial \Phi}{\partial y} =\underbrace{-x\operatorname{sen}(y)}_{\partial(x\cos(y))/\partial y} +\underbrace{\operatorname{sen}(x)}_{\partial(y\operatorname{sen}(x))/\partial y} +h'(y)
deve ser igual a N(x,y)=\operatorname{sen}(x)-x\operatorname{sen}(y). Assim
-x\operatorname{sen}(y)+\operatorname{sen}(x)+h'(y) =\operatorname{sen}(x)-x\operatorname{sen}(y) \;\Longrightarrow\; h'(y)=0 \;\Longrightarrow\; h(y)=\text{constante}.

Passo 5

A constante pode ser absorvida no lado direito. A solução geral implícita é
\Phi(x,y)=x\cos(y)+y\operatorname{sen}(x)=C.

Passo 6

Aplicando a condição inicial y(1)=1, obtemos
1\cdot\cos(1)+1\cdot\operatorname{sen}(1)=C \quad\Longrightarrow\quad C=\cos(1)+\operatorname{sen}(1).

Resposta

x\cos(y)+y\operatorname{sen}(x)=\cos(1)+\operatorname{sen}(1).

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