Resolva as seguintes equações homogêneas
y^{\prime}=\frac{x^{2}+x y+y^{2}}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = \frac{x^{2} + x\,y + y^{2}}{x^{2}},
que é uma equação homogênea (numerador e denominador são polinômios de mesmo grau). Para resolver, vamos usar a substituição típica de equações homogêneas:
y = v\,x,
de modo a transformar em uma equação separável em v e x.

Passo 2

Com y = v\,x, temos
y' = \frac{d}{dx}(v\,x) = v + x\,\frac{dv}{dx}.
Substituindo em
y' = \frac{x^{2} + x\,y + y^{2}}{x^{2}}
v + x\,\frac{dv}{dx} = \frac{x^{2} + x\,(v\,x) + (v\,x)^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{2} + v\,x^{2} + v^{2}x^{2}}{x^{2}} = 1 + v + v^{2}.
Logo,
x\,\frac{dv}{dx} = (1 + v + v^{2}) - v = 1 + v^{2}.
Portanto,
\frac{dv}{dx} = \frac{1 + v^{2}}{x}.

Passo 3

A equação é separável. Separamos em v de um lado e x do outro:
\frac{dv}{1+v^{2}} = \frac{dx}{x}.
Integramos ambos os lados:
\int \frac{dv}{1+v^{2}} = \int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \arctan(v) = \ln\bigl|x\bigr| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Voltando à variável original, v = \tan(\cdot), obtemos
v = \tan\bigl(\ln\lvert x\rvert + C\bigr).
Como y = v\,x, a solução geral é
y(x) = x \,\tan\!\bigl(\ln\lvert x\rvert + C\bigr).
Em forma implícita, também se pode escrever
\arctan\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) - \ln\lvert x\rvert = C.

Resposta

A solução geral da equação é
\boxed{y(x) = x \,\tan\!\bigl(\ln\lvert x\rvert + C\bigr),}
com C constante arbitrária.

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