Resolva as seguintes equações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação juntos! A questão envolve combinações e arranjos, que são conceitos da combinatória. Vamos precisar entender como calcular combinações $ C(n, k) $ e arranjos $ A(n, k) $ para encontrar o valor de $ n $ que satisfaz a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular combinações e arranjos:
- Combinação: $ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} $
- Arranjo: $ A(n, k) = \frac{n!}{(n - k)!} $
Onde $ n! $ (fatorial de n) é o produto de todos os números inteiros de 1 até $ n $.
Passo 3
Agora, vamos substituir as combinações e arranjos na equação:
Isso fica:
Passo 4
Vamos simplificar cada termo:
- Primeira combinação:
- Arranjo:
- Segunda combinação:
- Terceira combinação:
Passo 5
Substituindo as simplificações na equação original:
Simplificando o último termo:
Então, a equação fica:
Passo 6
Podemos subtrair $ n(n-1)(n-2) $ de ambos os lados para simplificar:
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por 24 para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Passo 8
Podemos dividir ambos os lados por $ (n-1)(n-2) $, assumindo que $ n \neq 1 $ e $ n \neq 2 $:
Passo 9
Agora, temos uma equação quadrática simples:
Passo 10
Vamos resolver a equação quadrática $ n^2 + n - 12 = 0 $. Podemos fatorar:
Então, as soluções são $ n = -4 $ e $ n = 3 $.
Passo 11
Como $ n $ representa um número de elementos, não faz sentido ter um valor negativo. Portanto, descartamos $ n = -4 $ e ficamos com:
Resposta
O valor de $ n $ que satisfaz a equação é $ n = 3 $.