Resolva as seguintes equações:
C(n-1), 2+An, 3=C(n+1), 4+6 cdot Cn,(n-3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação juntos! A questão envolve combinações e arranjos, que são conceitos da combinatória. Vamos precisar entender como calcular combinações $ C(n, k) $ e arranjos $ A(n, k) $ para encontrar o valor de $ n $ que satisfaz a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular combinações e arranjos:
  • Combinação: $ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} $
  • Arranjo: $ A(n, k) = \frac{n!}{(n - k)!} $
Onde $ n! $ (fatorial de n) é o produto de todos os números inteiros de 1 até $ n $.

Passo 3

Agora, vamos substituir as combinações e arranjos na equação:
C(n-1), 2 + An, 3 = C(n+1), 4 + 6 cdot Cn, (n-3)
Isso fica:
(n-1)!2! cdot (n-1-2)! + n!(n-3)! = (n+1)!4! cdot (n+1-4)! + 6 cdot n!(n - (n-3))!

Passo 4

Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeira combinação:
C(n-1, 2) = (n-1)!2! cdot (n-3)! = (n-1)(n-2)2
  1. Arranjo:
A(n, 3) = n!(n-3)! = n(n-1)(n-2)
  1. Segunda combinação:
C(n+1, 4) = (n+1)!4! cdot (n-3)! = (n+1)n(n-1)(n-2)24
  1. Terceira combinação:
C(n, n-3) = n!(n-3)! cdot 3! = n(n-1)(n-2)6

Passo 5

Substituindo as simplificações na equação original:
(n-1)(n-2)2 + n(n-1)(n-2) = (n+1)n(n-1)(n-2)24 + 6 cdot n(n-1)(n-2)6
Simplificando o último termo:
6 cdot n(n-1)(n-2)6 = n(n-1)(n-2)
Então, a equação fica:
(n-1)(n-2)2 + n(n-1)(n-2) = (n+1)n(n-1)(n-2)24 + n(n-1)(n-2)

Passo 6

Podemos subtrair $ n(n-1)(n-2) $ de ambos os lados para simplificar:
n(n-1)(n-2)

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por 24 para eliminar os denominadores:
24 cdot (n-1)(n-2)2 = (n+1)n(n-1)(n-2)
Simplificando:
12(n-1)(n-2) = (n+1)n(n-1)(n-2)

Passo 8

Podemos dividir ambos os lados por $ (n-1)(n-2) $, assumindo que $ n \neq 1 $ e $ n \neq 2 $:
(n-1)(n-2)

Passo 9

Agora, temos uma equação quadrática simples:
n(n + 1) = 12
n^2 + n - 12 = 0

Passo 10

Vamos resolver a equação quadrática $ n^2 + n - 12 = 0 $. Podemos fatorar:
n^2 + n - 12 = 0
Então, as soluções são $ n = -4 $ e $ n = 3 $.

Passo 11

Como $ n $ representa um número de elementos, não faz sentido ter um valor negativo. Portanto, descartamos $ n = -4 $ e ficamos com:
n

Resposta

O valor de $ n $ que satisfaz a equação é $ n = 3 $.

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