Usando a
formula do Moivre, calcular:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
.
Informações dadas: o número complexo e a operação de elevá‑lo à potência
.
Objetivo: encontrar o resultado em forma (parte real e parte imaginária).
Informações dadas: o número complexo
Objetivo: encontrar o resultado em forma
Passo 2
Vamos usar a 1ª fórmula de Moivre. Antes disso preciso explicar duas coisas importantes: módulo e argumento de um número complexo e como a fórmula funciona.
O módulo de um complexo
é a distância até a origem:
O argumento
é o ângulo que o vetor faz com o eixo real positivo; pode ser encontrado por
e, quando
, isso corresponde a
.
A 1ª fórmula de Moivre diz que, se escrevemos um complexo em forma trigonométrica
, então, para inteiro
,
Aqui
é o módulo e
é o argumento;
é a potência (aqui
). Essa fórmula permite elevar um complexo à potência trabalhando só com potências de
e multiplicando o ângulo por
.
Passo 3
Agora converto
para forma polar (trigonométrica).
Calculo o módulo:
Calculo o argumento. Aqui
e
, então estamos no primeiro quadrante e
Portanto:
Passo 4
Aplico a fórmula de Moivre com
,
e
:
Calculo
e o ângulo
:
Ficamos com
Passo 5
Agora preciso dos valores trigonométricos em
. Note que
. Portanto:
Passo 6
Substituo esses valores em
e faço as multiplicações:
Logo