Usando a 1^{\mathrm{a}} formula do Moivre, calcular:
z=(1+\sqrt{3} . \mathrm{i})^{5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular z=(1+\sqrt{3}\,\mathrm{i})^{5}.
Informações dadas: o número complexo (1+\sqrt{3}\,\mathrm{i}) e a operação de elevá‑lo à potência 5.
Objetivo: encontrar o resultado em forma a+b\,\mathrm{i} (parte real e parte imaginária).

Passo 2

Vamos usar a 1ª fórmula de Moivre. Antes disso preciso explicar duas coisas importantes: módulo e argumento de um número complexo e como a fórmula funciona.
O módulo de um complexo x+y\,\mathrm{i} é a distância até a origem:
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
O argumento \theta é o ângulo que o vetor faz com o eixo real positivo; pode ser encontrado por
\theta=\operatorname{atan2}(y,x),
e, quando x>0, isso corresponde a \theta=\arctan\!\big(\tfrac{y}{x}\big).
A 1ª fórmula de Moivre diz que, se escrevemos um complexo em forma trigonométrica r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta), então, para inteiro n,
\big(r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)\big)^{n}=r^{n}\big(\cos(n\theta)+\mathrm{i}\sin(n\theta)\big).
Aqui r é o módulo e \theta é o argumento; n é a potência (aqui n=5). Essa fórmula permite elevar um complexo à potência trabalhando só com potências de r e multiplicando o ângulo por n.

Passo 3

Agora converto 1+\sqrt{3}\,\mathrm{i} para forma polar (trigonométrica).
Calculo o módulo:
r=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.
Calculo o argumento. Aqui x=1>0 e y=\sqrt{3}>0, então estamos no primeiro quadrante e
\theta=\arctan\!\big(\tfrac{y}{x}\big)=\arctan(\sqrt{3})=\tfrac{\pi}{3}.
Portanto:
1+\sqrt{3}\,\mathrm{i}=2\big(\cos\tfrac{\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\tfrac{\pi}{3}\big).

Passo 4

Aplico a fórmula de Moivre com r=2, \theta=\tfrac{\pi}{3} e n=5:
(1+\sqrt{3}\,\mathrm{i})^{5}=\big(2(\cos\tfrac{\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\tfrac{\pi}{3})\big)^{5}=2^{5}\big(\cos(5\cdot\tfrac{\pi}{3})+\mathrm{i}\sin(5\cdot\tfrac{\pi}{3})\big).
Calculo 2^{5} e o ângulo 5\theta:
2^{5}=32,\qquad 5\theta=5\cdot\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{5\pi}{3}.
Ficamos com
(1+\sqrt{3}\,\mathrm{i})^{5}=32\big(\cos\tfrac{5\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\tfrac{5\pi}{3}\big).

Passo 5

Agora preciso dos valores trigonométricos em \tfrac{5\pi}{3}. Note que \tfrac{5\pi}{3}=2\pi-\tfrac{\pi}{3}. Portanto:
\cos\tfrac{5\pi}{3}=\cos\big(2\pi-\tfrac{\pi}{3}\big)=\cos\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2},
\sin\tfrac{5\pi}{3}=\sin\big(2\pi-\tfrac{\pi}{3}\big)=-\sin\tfrac{\pi}{3}=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

Substituo esses valores em 32(\cos+\mathrm{i}\sin) e faço as multiplicações:
32\cos\tfrac{5\pi}{3}=32\cdot\tfrac{1}{2}=16,
32\sin\tfrac{5\pi}{3}=32\cdot\big(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big)=-16\sqrt{3}.
Logo
(1+\sqrt{3}\,\mathrm{i})^{5}=16-16\sqrt{3}\,\mathrm{i}.

Resposta

16-16\sqrt{3}\,\mathrm{i}

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