Resolva as seguintes equações no campo dos
x^{3}+i=0
x^{3}+i=0
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação no campo dos complexos:
Ou seja, encontrar todos os números complexos
tais que a igualdade acima seja verdadeira. As informações dadas são apenas a própria equação e que a solução deve ser procurada entre os complexos (não há restrições adicionais).
Passo 2
Reescrevemos a equação isolando
:
A tarefa agora é encontrar as três raízes cúbicas do número complexo
.
Passo 3
Explico um pouco de teoria útil (passo-a-passo e amigável):
Para achar raízes de um número complexo costuma-se usar a forma polar/exponencial. Qualquer número complexo pode ser escrito como
Para achar raízes de um número complexo costuma-se usar a forma polar/exponencial. Qualquer número complexo
onde
é o módulo (distância até a origem) e
é o argumento (ângulo). As raízes
-ésimas de
são dadas por
Aqui cada
dá uma raiz distinta, porque somar
ao argumento dá o mesmo ponto no plano, e ao dividir por
gera as diferentes raízes.
Passo 4
Aplicamos isso a
. Primeiro encontramos módulo e argumento de
.
O módulo é
O módulo é
O argumento pode ser escolhido como
(ou equivalentemente
; ambas representam a mesma direção). Portanto escrevemos
Passo 5
Agora usamos a fórmula das raízes cúbicas (
). As soluções são
Calculamos os três ângulos resultantes explicitamente:
- Para
: - Para
: - Para
:
Logo as raízes em forma exponencial/trigonométrica são
Passo 6
Convertendo para a forma retangular (a + b i) usando valores trigonométricos conhecidos:
- Para
:
portanto
- Para
:
portanto
- Para
:
portanto
Passo 7
Breve verificação mental (sem contas longas):
é fácil de checar:
, que satisfaz a equação. As outras duas raízes vêm do deslocamento angular de
(ou
) entre si, como manda a teoria das raízes de números complexos, então também estão corretas. Assim temos as três raízes distintas listadas.