Resolva as seguintes equações no campo dos
x^{3}+i=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação no campo dos complexos:
x^{3} + \mathrm{i} = 0.
Ou seja, encontrar todos os números complexos x tais que a igualdade acima seja verdadeira. As informações dadas são apenas a própria equação e que a solução deve ser procurada entre os complexos (não há restrições adicionais).

Passo 2

Reescrevemos a equação isolando x^{3}:
x^{3} = -\mathrm{i}.
A tarefa agora é encontrar as três raízes cúbicas do número complexo -\mathrm{i}.

Passo 3

Explico um pouco de teoria útil (passo-a-passo e amigável):
Para achar raízes de um número complexo costuma-se usar a forma polar/exponencial. Qualquer número complexo z\neq 0 pode ser escrito como
z = r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta},
onde r=|z| é o módulo (distância até a origem) e \theta=\arg(z) é o argumento (ângulo). As raízes n-ésimas de z são dadas por
\text{raízes} = r^{1/n}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\frac{\theta+2\pi k}{n}\right)},\quad k=0,1,\dots,n-1.í
Aqui cada k dá uma raiz distinta, porque somar 2\pi ao argumento dá o mesmo ponto no plano, e ao dividir por n gera as diferentes raízes.

Passo 4

Aplicamos isso a -\mathrm{i}. Primeiro encontramos módulo e argumento de -\mathrm{i}.
O módulo é
|-\mathrm{i}| = 1.
O argumento pode ser escolhido como \theta = -\frac{\pi}{2} (ou equivalentemente \theta = \frac{3\pi}{2}; ambas representam a mesma direção). Portanto escrevemos
-\mathrm{i} = 1\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi m\right)},\qquad m\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Agora usamos a fórmula das raízes cúbicas ( n=3). As soluções são
x = 1^{1/3}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\frac{-\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3}\right)} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\frac{-\pi/2 + 2\pi k}{3}\right)},\qquad k=0,1,2.
Calculamos os três ângulos resultantes explicitamente:
  • Para k=0: \displaystyle \theta_{0}=\frac{-\pi/2}{3}=-\frac{\pi}{6}.
  • Para k=1: \displaystyle \theta_{1}=\frac{-\pi/2+2\pi}{3}=\frac{3\pi/2}{3}=\frac{\pi}{2}.
  • Para k=2: \displaystyle \theta_{2}=\frac{-\pi/2+4\pi}{3}=\frac{7\pi/2}{3}=\frac{7\pi}{6}.
Logo as raízes em forma exponencial/trigonométrica são
x_{k} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_{k}} = \cos(\theta_{k}) + \mathrm{i}\sin(\theta_{k}),\quad k=0,1,2.

Passo 6

Convertendo para a forma retangular (a + b i) usando valores trigonométricos conhecidos:
  • Para \theta_{0}=-\frac{\pi}{6}:
\cos\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2},
portanto
x_{0}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\mathrm{i}\,\frac{1}{2}.
  • Para \theta_{1}=\frac{\pi}{2}:
\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0,\qquad \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,
portanto
x_{1}=0+\mathrm{i}\cdot 1=\mathrm{i}.
  • Para \theta_{2}=\frac{7\pi}{6}:
\cos\!\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\!\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2},
portanto
x_{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\mathrm{i}\,\frac{1}{2}.

Passo 7

Breve verificação mental (sem contas longas): x_{1}=\mathrm{i} é fácil de checar: \mathrm{i}^{3}=\mathrm{i}^{2}\cdot \mathrm{i}=(-1)\cdot \mathrm{i}=-\mathrm{i}, que satisfaz a equação. As outras duas raízes vêm do deslocamento angular de 120^\circ (ou 2\pi/3) entre si, como manda a teoria das raízes de números complexos, então também estão corretas. Assim temos as três raízes distintas listadas.

Resposta

\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{2}-\mathrm{i}\,\frac{1}{2}
\displaystyle x=\mathrm{i}
\displaystyle x=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\mathrm{i}\,\frac{1}{2}

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