Resolva as seguintes Equações de Cauchy-Euler:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para encontrar a solução geral
.
Informações fornecidas e o que é preciso entregar:
Informações fornecidas e o que é preciso entregar:
- É uma equação diferencial linear de segunda ordem homogênea (os coeficientes dependem de
). - A incógnita é
. - Objetivo: determinar a solução geral (duas constantes arbitrárias) válida em um intervalo onde a solução é bem definida (tipicamente
ou ).
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicação didática curta antes de aplicar):
Uma estratégia prática para equações desse tipo é procurar soluções na forma de potências de , isto é, tentar
Uma estratégia prática para equações desse tipo é procurar soluções na forma de potências de
onde
é um número (possivelmente complexo) a determinar. A razão de tentar essa forma é que, ao derivar potências de
, os termos obtidos têm fatores de potências de
que podem cancelar entre si, transformando a equação diferencial numa equação algébrica para
. Vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular as derivadas de
e substituir na equação:
Derivando,
Derivando,
Substituindo em
:
Fatorando
(e lembrando que
não é zero para
), obtemos a equação algébrica para
:
Passo 4
Resolver a equação característica para
:
Desenvolvendo,
Desenvolvendo,
Então o polinômio característico é
Calculamos as raízes usando a fórmula quadrática:
Portanto as raízes são complexas conjuntas:
e
Passo 5
Converter as raízes complexas em solução real geral (explicação didática do porquê):
Quando as raízes do polinômio característico são (com
), as duas soluções complexas
podem ser combinadas para formar duas soluções reais independentes usando a identidade
Quando as raízes do polinômio característico são
As partes real e imaginária dão duas soluções reais independentes. Aqui
e
. Assim duas soluções independentes reais são
Portanto a solução geral (combinação linear dessas duas) é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Observações práticas sobre domínio e versão com
(útil na prova):
- A dedução usa
, então a expressão escrita com é imediatamente válida para . - Para obter uma forma válida em qualquer intervalo que não atravesse
(ou seja, para também), usa-se em vez de . Assim uma forma compacta válida para é
- Dica para a prova: memorize os casos padrões para equações com potência de
: - Se as raízes
e são distintas reais, . - Se as raízes são iguais
(repetidas), . - Se são complexas
, usar .
Isso resolve a grande maioria das questões do tipo Cauchy–Euler rapidamente.
- Se as raízes