Resolva as seguintes Equações de Cauchy-Euler:
x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}+3 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}y''+3x y'+3y=0
e pede para encontrar a solução geral y(x).
Informações fornecidas e o que é preciso entregar:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem homogênea (os coeficientes dependem de x).
  • A incógnita é y(x).
  • Objetivo: determinar a solução geral (duas constantes arbitrárias) válida em um intervalo onde a solução é bem definida (tipicamente x>0 ou x<0).

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática curta antes de aplicar):
Uma estratégia prática para equações desse tipo é procurar soluções na forma de potências de x, isto é, tentar
y=x^{m},
onde m é um número (possivelmente complexo) a determinar. A razão de tentar essa forma é que, ao derivar potências de x, os termos obtidos têm fatores de potências de x que podem cancelar entre si, transformando a equação diferencial numa equação algébrica para m. Vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular as derivadas de y=x^{m} e substituir na equação:
Derivando,
y'=m x^{m-1},\qquad y''=m(m-1)x^{m-2}.
Substituindo em \;x^{2}y''+3x y'+3y=0\;:
x^{2}\bigl(m(m-1)x^{m-2}\bigr)+3x\bigl(m x^{m-1}\bigr)+3\bigl(x^{m}\bigr)=0.
Fatorando x^{m} (e lembrando que x^{m} não é zero para x\neq0), obtemos a equação algébrica para m:
m(m-1)+3m+3=0.

Passo 4

Resolver a equação característica para m:
Desenvolvendo,
m(m-1)+3m+3 = m^{2}-m+3m+3=m^{2}+2m+3.
Então o polinômio característico é
m^{2}+2m+3=0.
Calculamos as raízes usando a fórmula quadrática:
m=\frac{-2\pm\sqrt{4-12}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{-8}}{2}=\frac{-2\pm 2i\sqrt{2}}{2}=-1\pm i\sqrt{2}.
Portanto as raízes são complexas conjuntas: \;m_{1}=-1+i\sqrt{2}\; e \;m_{2}=-1-i\sqrt{2}.

Passo 5

Converter as raízes complexas em solução real geral (explicação didática do porquê):
Quando as raízes do polinômio característico são \alpha\pm i\beta (com \beta\neq0), as duas soluções complexas x^{\alpha\pm i\beta} podem ser combinadas para formar duas soluções reais independentes usando a identidade
x^{\alpha+i\beta}=x^{\alpha}e^{i\beta\ln x}=x^{\alpha}\bigl(\cos(\beta\ln x)+i\sin(\beta\ln x)\bigr).
As partes real e imaginária dão duas soluções reais independentes. Aqui \alpha=-1 e \beta=\sqrt{2}. Assim duas soluções independentes reais são
x^{-1}\cos\bigl(\sqrt{2}\ln x\bigr)\qquad\text{e}\qquad x^{-1}\sin\bigl(\sqrt{2}\ln x\bigr).
Portanto a solução geral (combinação linear dessas duas) é
y(x)=x^{-1}\Bigl(C_{1}\cos\bigl(\sqrt{2}\ln x\bigr)+C_{2}\sin\bigl(\sqrt{2}\ln x\bigr)\Bigr),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 6

Observações práticas sobre domínio e versão com \ln|x| (útil na prova):
  • A dedução usa \ln x, então a expressão escrita com \ln x é imediatamente válida para x>0.
  • Para obter uma forma válida em qualquer intervalo que não atravesse 0 (ou seja, para x<0 também), usa-se \ln|x| em vez de \ln x. Assim uma forma compacta válida para x\neq0 é
y(x)=x^{-1}\Bigl(C_{1}\cos\bigl(\sqrt{2}\ln|x|\bigr)+C_{2}\sin\bigl(\sqrt{2}\ln|x|\bigr)\Bigr).
  • Dica para a prova: memorize os casos padrões para equações com potência de x:
    • Se as raízes m_1 e m_2 são distintas reais, y=C_1 x^{m_1}+C_2 x^{m_2}.
    • Se as raízes são iguais m (repetidas), y=(C_1 + C_2\ln x)x^{m}.
    • Se são complexas \alpha\pm i\beta, usar y=x^{\alpha}\bigl(C_1\cos(\beta\ln x)+C_2\sin(\beta\ln x)\bigr).
      Isso resolve a grande maioria das questões do tipo Cauchy–Euler rapidamente.

Resposta

y(x)=x^{-1}\Bigl(C_{1}\cos\bigl(\sqrt{2}\ln|x|\bigr)+C_{2}\sin\bigl(\sqrt{2}\ln|x|\bigr)\Bigr),\quad x\neq0

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