Resolva as seguintes equaçōes diferenciais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para a gente resolver a equação:
d^2 yd t^2 + 2 d yd t + y = e^t
Com as condições iniciais:
y(0) = 1 y^prime(0) = -3
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Linear de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar conhecer a solução geral da equação homogênea associada e encontrar uma solução particular para a equação completa. Depois, usaremos as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
d^2 yd t^2 + 2 d yd t + y = 0
Para isso, assumimos uma solução da forma y = e^rt e substituímos na equação:
r^2 e^rt + 2 r e^rt + e^rt = 0
Dividindo por e^rt (que nunca é zero):
r^2 + 2 r + 1 = 0
Resolvendo essa equação quadrática, temos:
r = -2 pm raiz4 - 42 = -22 = -1
Como temos uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = (C1 + C2 t) e^-t

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
d^2 yd t^2 + 2 d yd t + y = e^t
Como o termo do lado direito é e^t, tentamos uma solução particular da forma:
yp(t) = A e^t
Onde A é uma constante a ser determinada. Vamos derivar yp:
yp'(t) = A e^t yp''(t) = A e^t
Substituindo na equação diferencial:
A e^t + 2 A e^t + A e^t = e^t (1 + 2 + 1) A e^t = e^t 4 A e^t = e^t
Dividindo ambos os lados por e^t:
4 A = 1 A = 14
Então, a solução particular é:
yp(t) = 14 e^t

Passo 4

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = (C1 + C2 t) e^-t + 14 e^t
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes C1 e C2.

Passo 5

Aplicando a condição y(0) = 1:
y(0) = (C1 + C2 cdot 0) e^0 + 14 e^0 = C1 + 14 = 1 C1 = 1 - 14 = 34
Agora, derivamos y(t) para aplicar a segunda condição y^prime(0) = -3:
y(t) = (34 + C2 t) e^-t + 14 e^t y'(t) = ( C2 e^-t + (34 + C2 t)(-e^-t) ) + 14 e^t y'(t) = C2 e^-t - (34 + C2 t) e^-t + 14 e^t y'(t) = (C2 - 34 - C2 t) e^-t + 14 e^t
Aplicando t = 0:
y'(0) = (C2 - 34 - 0) e^0 + 14 e^0 = C2 - 34 + 14 = C2 - 24 = C2 - 12 = -3 C2 = -3 + 12 = -52

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = (34 - 52 t) e^-t + 14 e^t

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