Resolva as seguintes equaçōes diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para a gente resolver a equação:
Com as condições iniciais:
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Linear de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar conhecer a solução geral da equação homogênea associada e encontrar uma solução particular para a equação completa. Depois, usaremos as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, assumimos uma solução da forma
e substituímos na equação:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Resolvendo essa equação quadrática, temos:
Como temos uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o termo do lado direito é
, tentamos uma solução particular da forma:
Onde
é uma constante a ser determinada. Vamos derivar
:
Substituindo na equação diferencial:
Dividindo ambos os lados por
:
Então, a solução particular é:
Passo 4
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes
e
.
Passo 5
Aplicando a condição
:
Agora, derivamos
para aplicar a segunda condição
:
Aplicando
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: