Resolva as seguintes equaçōes diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar soluções para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma equação diferencial linear de primeira ordem tem a forma geral:
No nosso caso,
e
. O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que facilita a resolução da equação.
Passo 3
O fator integrante,
, é dado por:
Substituindo
:
Esse fator vai multiplicar toda a equação para facilitar a integração.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
A esquerda da equação agora se torna a derivada do produto
. Isso é uma propriedade útil que nos permite simplificar a equação.
Passo 5
Escrevemos a equação simplificada:
Agora, para encontrar
, vamos integrar ambos os lados em relação a
.
Passo 6
Vamos integrar o lado direito:
Para isso, usamos a identidade de hiperbolic coseno que diz:
Substituindo na integral:
Passo 7
Agora, integramos termo a termo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Então, temos:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.