Resolva as seguintes equaçōes diferenciais:
d yd t+y:=cosh 2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dydt + y = cosh(2t) . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar soluções para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação diferencial linear de primeira ordem tem a forma geral:
dydt + P(t)y = Q(t)
No nosso caso, P(t) = 1 e Q(t) = cosh(2t) . O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que facilita a resolução da equação.

Passo 3

O fator integrante, mu(t) , é dado por:
mu(t) = e^integral P(t)dt
Substituindo P(t) = 1 :
mu(t) = e^integral 1 dt = e^t
Esse fator vai multiplicar toda a equação para facilitar a integração.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante e^t :
e^t dydt + e^t y = e^t cosh(2t)
A esquerda da equação agora se torna a derivada do produto e^t y . Isso é uma propriedade útil que nos permite simplificar a equação.

Passo 5

Escrevemos a equação simplificada:
ddt(e^t y) = e^t cosh(2t)
Agora, para encontrar y , vamos integrar ambos os lados em relação a t .

Passo 6

Vamos integrar o lado direito:
integral e^t cosh(2t) dt
Para isso, usamos a identidade de hiperbolic coseno que diz:
cosh(2t) = e^2t + e^-2t2
Substituindo na integral:
integral e^t cdot e^2t + e^-2t2 dt = 12 integral (e^3t + e^-t) dt

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
12 ( integral e^3t dt + integral e^-t dt ) = 12 ( e^3t3 - e^-t ) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Então, temos:
e^t y = 16 e^3t - 12 e^-t + C
Para isolar y , dividimos ambos os lados por e^t :
y = 16 e^2t - 12 e^-2t + C e^-t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = 16 e^2t - 12 e^-2t + C e^-t
onde C é uma constante arbitrária.

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