Resolva as seguintes equações diferenciais.
9.39 d^2 Qd t^2-7 d Qd t+5 Q=0

Passo 1

Temos a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
9.39,d^2Qdt^2-7,dQdt+5,Q=0
O conteúdo que vamos usar é o método da equação característica: assumimos Q(t)=e^rt e obtemos uma equação algébrica para r.

Passo 2

Ao substituir Q(t)=e^rt na equação diferencial, temos
9.39,r^2e^rt-7,r,e^rt+5,e^rt=0
e como e^rtneq0, decorre a equação característica
9.39,r^2-7,r+5=0

Passo 3

Calculamos o discriminante da quadrática
De<a = (-7)^2-4cdot9.39cdot5 = 49 - 187.8 = -138.8
Como De<a<0, as raízes serão complexas conjugadas.

Passo 4

As raízes da equação característica são
r = 7 pm raiz-138.82cdot9.39 = 718.78 pm i,raiz138.818.78
Definindo
alpha = 718.78approx0,3728, beta = raiz138.818.78approx0,6276,
ficamos com r = alpha pm i,beta.

Passo 5

Para raízes complexas r=alphapm ibeta, a forma geral da solução é
Q(t) = e^alpha tl(C1cos(beta t)+C2sin(beta t)r)
Substituindo alpha e beta, obtemos a solução geral.

Resposta

Q(t)=e^0,3728,tl(C1cos(0,6276,t)+C2sin(0,6276,t)r),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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