Resolva as seguintes equações diferenciais.
9.28 ddotx+60 dotx+500 x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
9,28,ddotx + 60,dotx + 500,x = 0
Para isso, vamos assumir uma solução do tipo x(t)=e^r t e obter a equação característica.

Passo 2

Substituindo x(t)=e^r t na EDO, temos ddotx=r^2e^r t e dotx=r e^r t. Logo a equação característica é
9,28,r^2 + 60,r + 500 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante De<a = b^2 - 4ac da quadrática em r:
De<a = 60^2 - 4cdot9,28cdot500 = 3600 - 18560 = -14960 < 0
Como De<a<0, teremos raízes complexas conjugadas.

Passo 4

As raízes são
r = -60 pm iraiz149602cdot9,28 = -6018,56 pm i,raiz1496018,56
Numericamente,
alpha = -6018,56approx -3,232, beta = raiz1496018,56approx 6,591

Passo 5

Para raízes r=alphapmibeta a solução geral é
x(t) = e^alpha tl(C1cos(beta t)+C2sin(beta t)r)
Substituindo alpha e beta, obtemos a forma final.

Resposta

x(t) = e^-3,232,tl(C1cos(6,591,t)+C2sin(6,591,t)r),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados