Resolva as seguintes equações diferenciais.
9.29 ddotx-3 dotx+x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
9,29,ddotx-3,dotx+x=0
O conteúdo que vamos usar é o método da equação característica: buscamos soluções da forma x(t)=e^r t, o que leva a uma equação algébrica para r.

Passo 2

Assumindo x(t)=e^r t, temos dotx=r e^r t e ddotx=r^2 e^r t. Substituindo na EDO:
9,29,r^2 e^r t-3,r e^r t+1cdot e^r t=0
e como e^r tneq0, obtemos a equação característica
9,29,r^2-3,r+1=0

Passo 3

Para resolver
9,29,r^2-3,r+1=0
usamos a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
De<a = (-3)^2 -4cdot9,29cdot1 = 9 -37,16 = -28,16,
que é negativo. Logo as raízes são complexas conjugadas:
r = 3 pm raiz-28,162cdot9,29 = 318,58 pm i,raiz28,1618,58
Chamando
a = 318,58, b = raiz28,1618,58,
temos r = apm i b.

Passo 4

Quando as raízes da característica são apm i b, a solução geral da EDO é
x(t) = e^a tl(C1cos(b t)+C2sin(b t)r)
Substituindo a e b definidos acima:

Resposta

x(t) = exp!l(tfrac318,58,tr) l[ C1cos!l(tfracraiz28,1618,58,tr) + C2sin!l(tfracraiz28,1618,58,tr) r]

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