Resolva as seguintes equações diferenciais.
9.40 d^2 Pd t^2-18 d Pd t+81 P=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
d^2Pdt^2 - 18,dPdt + 81,P = 0
O método envolve montar a equação característica e encontrar suas raízes.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada, trocando d^2Pdt^2mapsto lambda^2, dPdtmapsto lambda:
lambda^2 - 18,lambda + 81 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante dessa quadrática:
De<a = (-18)^2 - 4 cdot 1 cdot 81 = 324 - 324 = 0
Como De<a=0, a raiz é real e dupla.

Passo 4

A raiz repetida da característica é
lambda = 182 = 9

Passo 5

Para uma raiz dupla lambda=9, a solução geral da equação diferencial é
P(t) = l(C1 + C2,tr),e^9t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

P(t) = l(C1 + C2,tr),e^9t

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