Verifique se o conjunto de vetores
é uma base para
.
Passo 1
Vamos verificar se o conjunto de vetores
é uma base para
. Para isso, precisamos entender o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Vamos precisar usar conceitos de independência linear e geração de espaço vetorial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os vetores são linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhuma combinação linear não trivial deles resulta no vetor nulo. Ou seja, se a única solução para
for
e
, então eles são independentes.
Passo 3
Vamos montar a equação:
Isso resulta em:
Simplificando, temos:
Portanto, a única solução é
e
, o que mostra que os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Agora, vamos verificar se esses vetores geram todo o espaço
. Isso significa que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Ou seja, para qualquer
, existem números
e
tais que:
Passo 5
Vamos resolver a equação:
Isso resulta em:
Assim, para qualquer
, basta escolher
e
, o que sempre é possível. Portanto, os vetores geram todo o espaço
.
Resposta
Como o conjunto de vetores
é linearmente independente e gera todo o espaço
, podemos concluir que ele é uma base para
.