Verifique se o conjunto de vetores (1,0),(0,1) é uma base para R^2.

Passo 1

Vamos verificar se o conjunto de vetores (1,0),(0,1) é uma base para R^2. Para isso, precisamos entender o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Vamos precisar usar conceitos de independência linear e geração de espaço vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores são linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhuma combinação linear não trivial deles resulta no vetor nulo. Ou seja, se a única solução para a(1,0) + b(0,1) = (0,0) for a = 0 e b = 0, então eles são independentes.

Passo 3

Vamos montar a equação:
a(1,0) + b(0,1) = (0,0)
Isso resulta em:
(a cdot 1 + b cdot 0, , a cdot 0 + b cdot 1) = (0,0)
Simplificando, temos:
(a, b) = (0,0)
Portanto, a única solução é a = 0 e b = 0, o que mostra que os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Agora, vamos verificar se esses vetores geram todo o espaço R^2. Isso significa que qualquer vetor em R^2 pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Ou seja, para qualquer (x,y) in R^2, existem números a e b tais que:
a(1,0) + b(0,1) = (x,y)

Passo 5

Vamos resolver a equação:
a(1,0) + b(0,1) = (x,y)
Isso resulta em:
(a, b) = (x,y)
Assim, para qualquer (x,y), basta escolher a = x e b = y, o que sempre é possível. Portanto, os vetores geram todo o espaço R^2.

Resposta

Como o conjunto de vetores (1,0),(0,1) é linearmente independente e gera todo o espaço R^2, podemos concluir que ele é uma base para R^2.

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