Resolva as seguintes equações diferenciais.
d^2 Qd t^2-5 d Qd t+7 Q=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
d^2Qdt^2 - 5,dQdt + 7,Q = 0
O conteúdo envolvido é a solução de EDO homogênea linear de segunda ordem. Vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo Q(t)=e^r t. Substituindo na equação diferencial, obtemos o polinômio característico
r^2 - 5r + 7 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática pelo discriminante:
r = 5 pm raiz25 - 282 = 5 pm iraiz32
São raízes complexas conjugadas r = alpha pm ibeta com
alpha = 52, beta = raiz32

Passo 4

Para raízes complexas alphapm ibeta, a solução geral é
Q(t) = e^alpha tl(C1cos(beta t) + C2sin(beta t)r)
Substituindo alpha e beta, concluímos a forma da solução.

Resposta

Q(t) = e^tfrac52tl(C1cosl(tfracraiz32tr) + C2sinl(tfracraiz32tr)r),
onde C1 e C2 são constantes de integração determinadas por condições iniciais.

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