Resolva as seguintes equações diferenciais para y=y(x) :
(2 x y+3 x^2) d x+(x^2+2 y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial (2xy+3x^2),dx+(x^2+2y),dy=0. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas, e vamos precisar testar exatidão e depois encontrar uma função potencial.

Passo 2

Para testar se a forma M(x,y),dx+N(x,y),dy=0 é exata, calculamos:
M(x,y)=2xy+3x^2 e N(x,y)=x^2+2y.
partial M/partial y=2x
partial N/partial x=2x
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para achar a função potencial F(x,y) tal que dF=M,dx+N,dy, integramos M em relação a x:
F(x,y)=integral(2xy+3x^2),dx=x^2y+x^3+h(y)
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Derivando F em relação a y e igualando a N(x,y) obtemos:
partial F/partial y=x^2+h'(y)
Igualando a N=x^2+2y resulta em h'(y)=2y. Integrando em y:
h(y)=y^2.

Passo 5

Substituindo h(y) em F(x,y), a solução implícita geral fica:
x^2y+x^3+y^2=C

Resposta

x2y+x3+y^2=C

Exercícios relacionados