Resolva as seguintes equações diferenciais com as condições iniciais dadas:
\ddot{y}(t)+3 \dot{y}(t)+2 y(t)=8 \sin (t) e^{-t}, y(0)=1, \dot{y}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
\ddot{y}(t) + 3\dot{y}(t) + 2y(t) = 8e^{-t}\sin(t),
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e \dot{y}(0)=1.
Conteúdo: solução de equações lineares não-homogêneas por soma da solução geral da homogênea e de uma particular.

Passo 2

Encontramos primeiro a solução geral da equação homogênea
\ddot{y}_h + 3\dot{y}_h + 2y_h = 0.
O polinômio característico é \lambda^2 + 3\lambda + 2=0, cujas raízes são \lambda=-1 e \lambda=-2. Logo
y_h(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t}.

Passo 3

Para uma solução particular y_p adotamos o método dos coeficientes indeterminados usando a forma complexa. Note que
8e^{-t}\sin(t) = \Im\bigl(8e^{(-1+i)t}\bigr).
Procuramos uma solução complexa y_c(t)=A\,e^{(-1+i)t}. Ao aplicar o operador D^2+3D+2 em y_c obtemos
(D^2+3D+2)y_c = \bigl[(-1+i)^2 +3(-1+i)+2\bigr]A\,e^{(-1+i)t} =(-1+i)\,A\,e^{(-1+i)t}.
Queremos isso igual a 8e^{(-1+i)t}, logo
A(-1+i)=8 \quad\Longrightarrow\quad A=\frac{8}{-1+i}=-4-4i.

Passo 4

A parte imaginária de y_c é a nossa y_p. Escrevendo
y_c(t)=(-4-4i)e^{(-1+i)t} = e^{-t}\bigl[(-4-4i)(\cos t + i\sin t)\bigr],
temos
y_p(t)=\Im\{y_c(t)\} = e^{-t}\bigl(-4\sin t -4\cos t\bigr) = -4e^{-t}\sin t -4e^{-t}\cos t.

Passo 5

A solução geral da equação não-homogênea é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t} -4e^{-t}\sin t -4e^{-t}\cos t.

Passo 6

Agora impomos as condições iniciais. Primeiro,
y(0)=C_1 + C_2 -4 = 1 \quad\Longrightarrow\quad C_1 + C_2 = 5.
Em seguida, calculamos \dot{y}(t)\). Derivando, \[\dot{y}(t) = -C_1 e^{-t} -2C_2 e^{-2t} +8e^{-t}\sin t.
Logo em t=0,
\dot{y}(0) = -C_1 -2C_2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad C_1 + 2C_2 = -1.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = 5,\\\ C_1 + 2C_2 = -1, \end{cases}
obtemos C_2=-6\] e \(C_1=11.

Resposta

Substituindo em y(t), a solução com as condições iniciais é
\boxed{y(t) = 11e^{-t} -6e^{-2t} \;-\;4e^{-t}\sin t \;-\;4e^{-t}\cos t.}

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