Resolva as seguintes equações diferenciais com as condições iniciais dadas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
sujeita às condições iniciais
e
.
Conteúdo: solução de equações lineares não-homogêneas por soma da solução geral da homogênea e de uma particular.
Conteúdo: solução de equações lineares não-homogêneas por soma da solução geral da homogênea e de uma particular.
Passo 2
Encontramos primeiro a solução geral da equação homogênea
O polinômio característico é
, cujas raízes são
e
. Logo
Passo 3
Para uma solução particular
adotamos o método dos coeficientes indeterminados usando a forma complexa. Note que
Procuramos uma solução complexa
. Ao aplicar o operador
em
obtemos
Queremos isso igual a
, logo
Passo 4
A parte imaginária de
é a nossa
. Escrevendo
temos
Passo 5
A solução geral da equação não-homogênea é
Passo 6
Agora impomos as condições iniciais. Primeiro,
Em seguida, calculamos
Logo em
,
Resolvendo o sistema
obtemos
.
Resposta
Substituindo em
, a solução com as condições iniciais é