Resolva as seguintes equações diferenciais.
d x+\left(\frac{x}{y}-\operatorname{sen} y\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
d x + \Bigl(\frac{x}{y} - \operatorname{sen} y\Bigr)\,d y = 0.
O conteúdo aqui é equação diferencial na forma M(x,y)\,d x + N(x,y)\,d y=0 e precisamos verificar se é exata ou encontrar um fator integrante.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 1, \qquad N(x,y) = \frac{x}{y} - \operatorname{sen} y.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = 0, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y},
logo \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x e a equação não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante \mu função só de y. Como
\frac{\partial N/\partial x - \partial M/\partial y}{M} = \frac{\tfrac{1}{y}-0}{1} = \frac{1}{y},
temos
\mu(y) = \exp\!\Bigl(\int \frac{1}{y}\,d y\Bigr) = e^{\ln|y|} = y.

Passo 4

Multiplicando a equação original por \mu(y)=y obtemos
y\,d x + \bigl(x - y\operatorname{sen} y\bigr)\,d y = 0,
que é exata pois agora
M^*(x,y)=y, \quad N^*(x,y)=x - y\operatorname{sen} y,
e \partial M^*/\partial y = 1 = \partial N^*/\partial x.

Passo 5

Procuramos uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} = y,
o que dá
\psi(x,y) = x\,y + h(y).
Depois exigimos
\frac{\partial \psi}{\partial y} = x + h'(y) = x - y\operatorname{sen} y,
logo
h'(y) = -\,y\operatorname{sen} y \quad\Longrightarrow\quad h(y) = \int -y\operatorname{sen} y\,d y.
Usando integração por partes,
\int y\operatorname{sen} y\,d y = -y\cos y + \sin y,
então
h(y) = y\cos y - \sin y.

Passo 6

A solução geral vem de
\psi(x,y) = C \quad\Longrightarrow\quad x\,y + y\cos y - \sin y = C.

Resposta

x\,y + y\cos y - \sin y = C.

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