Resolva as seguintes equações diferenciais.
\frac{d y}{d x}=\mathrm{e}^{y / x}+\frac{y}{x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = e^{y/x} + \frac{y}{x}.
Este tipo de equação é homogênea no sentido de que o termo do lado direito depende apenas da razão y/x. Vamos usar a substituição clássica para homogêneas:
v = \frac{y}{x},\qquad y = v\,x.

Passo 2

Com y = v\,x, temos
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo na equação original, obtemos
v + x\frac{dv}{dx} = e^{v} + v.
Repare que o termo v aparece dos dois lados e se cancela, sobrando
x\frac{dv}{dx} = e^{v}.

Passo 3

Agora a equação está em variáveis separáveis. Podemos escrever
\frac{dv}{e^{-v}} = \frac{dx}{x}.
Isto é equivalente a
e^{-v}\,dv = \frac{dx}{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int e^{-v}\,dv = \int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad -\,e^{-v} = \ln\lvert x\rvert + C.
Aqui C é a constante de integração.

Passo 5

Reescrevendo e isolando a constante, temos
e^{-v} + \ln\lvert x\rvert = C_1,
onde C_1=-C é outra constante arbitrária. Voltando à variável original v = y/x, a solução geral fica

Resposta

e^{-\,\tfrac{y}{x}} + \ln\lvert x\rvert = C.

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