Resolva as seguintes equações diferenciais.
\left(3 x^{2}-2 x y+2\right) d x+\left(6 y^{2}-x^{2}+3\right) d y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
\bigl(3x^{2}-2xy+2\bigr)\,dx + \bigl(6y^{2}-x^{2}+3\bigr)\,dy = 0
e pede a sua solução geral. O conteúdo aqui é de equações exatas: vamos verificar a exatidão e, se for o caso, encontrar a função potencial F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x}=3x^{2}-2xy+2 \quad\text{e}\quad \frac{\partial F}{\partial y}=6y^{2}-x^{2}+3.

Passo 2

Teste de exatidão: calculemos
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}-2xy+2\bigr) = -2x,
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(6y^{2}-x^{2}+3\bigr) = -2x.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função F(x,y) tal que \partial F/\partial x = M(x,y). Integramos M em relação a x:
F(x,y) = \int\bigl(3x^{2}-2xy+2\bigr)\,dx = x^{3}-x^{2}y+2x + h(y),
onde h(y) é função arbitrária de y.

Passo 4

Agora impomos \partial F/\partial y = N(x,y). Calculamos
\frac{\partial F}{\partial y} = -x^{2} + h'(y)
e igualamos a N(x,y)=6y^{2}-x^{2}+3. Daí
-x^{2} + h'(y) = 6y^{2}-x^{2}+3 \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=6y^{2}+3.

Passo 5

Integramos h'(y) em relação a y:
h(y)=\int\bigl(6y^{2}+3\bigr)\,dy =2y^{3}+3y + C_{1}.

Passo 6

Substituindo h(y) em F(x,y), obtemos a função potencial completa:
F(x,y)=x^{3}-x^{2}y+2x +2y^{3}+3y.
A solução geral da equação diferencial vem de
F(x,y)=C,
com C constante arbitrária.

Resposta

x^{3}-x^{2}y+2x+2y^{3}+3y = C.

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