Resolva as seguintes equações diferenciais:
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar saber como encontrar a solução geral de uma equação diferencial linear, que é a soma da solução da equação homogênea e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja,
. A solução dessa equação é bem simples:
Aqui,
e
são constantes que a gente determina com as condições iniciais, se tiverem.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa
. Para isso, vamos integrar a função do lado direito duas vezes.
Primeira integração:
Segunda integração:
Como estamos procurando apenas uma solução particular, podemos ignorar os termos que já fazem parte da solução homogênea. Assim, simplificamos para:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.