Resolva as seguintes equações diferenciais:
d) y'' = 1 + cos(3x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar saber como encontrar a solução geral de uma equação diferencial linear, que é a soma da solução da equação homogênea e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, . A solução dessa equação é bem simples:
Aqui, e são constantes que a gente determina com as condições iniciais, se tiverem.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa . Para isso, vamos integrar a função do lado direito duas vezes.
Primeira integração:
Segunda integração:
Como estamos procurando apenas uma solução particular, podemos ignorar os termos que já fazem parte da solução homogênea. Assim, simplificamos para:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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