Resolva as seguintes equações diferenciais:
e) y' = x / (1 + x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária simples. Para resolver, vamos precisar usar integração, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para encontrar funções a partir de suas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que facilite a integração. Sabemos que é a derivada de em relação a , então podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos isolar dos outros termos para facilitar a integração:

Passo 4

O próximo passo é integrar ambos os lados da equação. Vamos integrar em relação a e em relação a :

Passo 5

A integral do lado esquerdo é simples:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos agora resolver a integral do lado direito, . Para isso, podemos usar uma substituição simples. Seja , então , ou seja, .

Passo 7

Substituindo na integral:

Passo 8

Agora, juntando os resultados das integrais:
Podemos simplificar as constantes de integração combinando e em uma única constante :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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