Resolva as seguintes equações diferenciais:
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária simples. Para resolver, vamos precisar usar integração, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para encontrar funções a partir de suas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que facilite a integração. Sabemos que
é a derivada de
em relação a
, então podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos isolar
dos outros termos para facilitar a integração:
Passo 4
O próximo passo é integrar ambos os lados da equação. Vamos integrar
em relação a
e
em relação a
:
Passo 5
A integral do lado esquerdo é simples:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos agora resolver a integral do lado direito,
. Para isso, podemos usar uma substituição simples. Seja
, então
, ou seja,
.
Passo 7
Substituindo na integral:
Passo 8
Agora, juntando os resultados das integrais:
Podemos simplificar as constantes de integração combinando
e
em uma única constante
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.