Resolva as seguintes equações diferenciais:
f)
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem, e para resolver vamos precisar usar a técnica de integração. Basicamente, queremos encontrar uma função
que, quando derivada, dá essa expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que facilite a integração. A equação dada é:
Isso significa que a derivada de
em relação a
é igual a
. Para encontrar
, precisamos integrar essa expressão em relação a
.
Passo 3
Vamos integrar ambos os lados da equação:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Para resolver a integral
, vamos usar a substituição. Vamos definir uma nova variável
para simplificar a integral.
Seja:
Agora, derivamos
em relação a
:
Passo 5
Substituindo na integral:
Sabemos que a integral de
é
, então:
Passo 6
Agora, voltamos à variável original
substituindo
de volta:
Resposta
Então, a solução da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.