Resolva as seguintes equações diferenciais:
f) y' = x cos(2 x^2 + 6)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem, e para resolver vamos precisar usar a técnica de integração. Basicamente, queremos encontrar uma função que, quando derivada, dá essa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que facilite a integração. A equação dada é:
Isso significa que a derivada de em relação a é igual a . Para encontrar , precisamos integrar essa expressão em relação a .

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados da equação:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Para resolver a integral , vamos usar a substituição. Vamos definir uma nova variável para simplificar a integral.
Seja:
Agora, derivamos em relação a :

Passo 5

Substituindo na integral:
Sabemos que a integral de é , então:

Passo 6

Agora, voltamos à variável original substituindo de volta:

Resposta

Então, a solução da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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