Resolva as seguintes equações diferenciais de Euler.
t^2 y^prime prime(t)-20 y(t)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de Euler
t^2y''(t)-20,y(t)=0
Esse tipo de equação é também chamada de Cauchy–Euler, e a ideia é buscar soluções da forma y(t)=t^m.

Passo 2

Supondo y(t)=t^m, temos
y'(t)=m,t^m-1, y''(t)=m(m-1),t^m-2
Substituindo na equação:
t^2l[m(m-1),t^m-2r]-20,t^m=0 ;Longrightarrow; m(m-1),t^m-20,t^m=0 ;Longrightarrow; l[m(m-1)-20r]t^m=0
Como t^mneq0, o coeficiente deve anular:
m(m-1)-20=0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática característica
m^2-m-20=0
usamos a fórmula de Bhaskara:
m=1pmraiz1+802=1pm92,
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m1=5, m2=-4

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação de Euler é
y(t)=C1,t^m1+C2,t^m2 =C1,t^5+C2,t^-4,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=C1,t^5+C2,t^-4

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