Resolva as seguintes equações diferenciais de Euler.
t^2 y^prime prime(t)+t y^prime(t)+4 y(t)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de Euler
t^2y''(t)+t,y'(t)+4,y(t)=0.
O conteúdo aqui é a equação de Cauchy–Euler de segunda ordem, e vamos usar o método que assume solução da forma
y(t)=t^r,
o que gera uma equação algébrica em r chamada indicial.

Passo 2

Supondo y(t)=t^r, calculamos as derivadas:
y'(t)=r,t^r-1,
y''(t)=r(r-1),t^r-2
Substituindo na equação original:
t^2l(r(r-1),t^r-2r) + tl(r,t^r-1r) +4,t^r=0
e factorizando t^r (não nulo para tneq0):
l[r(r-1)+r+4r],t^r=0

Passo 3

A equação característica é
r(r-1)+r+4=0 Longrightarrow r^2+4=0,
cuja solução é
r=pm 2i

Passo 4

Para raízes complexas conjugadas r=alphapm ibeta com alpha=0 e beta=2, a solução geral em termos reais fica
y(t) = C1,t^alphacosl(betaln tr) + C2,t^alphasinl(betaln tr)
Como t^0=1, obtemos
y(t)=Acosl(2ln tr)+Bsinl(2ln tr),
onde A e B são constantes reais.

Resposta

y(t)=Acosl(2ln tr)+Bsinl(2ln tr), A,BinR

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