Resolva as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
Este é um caso de equação de Bernoulli, pois pode ser escrita na forma
Vamos usar a técnica de Bernoulli: identificar
,
e
, fazer a substituição adequada, resolver a equação linear resultante e depois voltar a
.
Passo 2
Rewrite a equação deixando o termo em
isolado:
Aqui identificamos
,
e o expoente
.
Passo 3
Na equação de Bernoulli fazemos a substituição
Calculamos
em função de
. Como
,
Passo 4
Substituindo
da equação original em
:
então
Reescrevendo, obtemos a equação linear para
:
Passo 5
Para resolver
calculamos o fator integrante
Multiplicando tudo por
vem
que é
Integrando em
:
onde
é constante arbitrária.
Passo 6
Logo
Voltando a
, temos
Resposta
onde
é a constante de integração.