Resolva as seguintes equações diferenciais:
\frac{d y}{d x}+\frac{5 x^{3} y^{3}-2 y}{2 x}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx} + \frac{5x^{3}y^{3}-2y}{2x} = 0.
Este é um caso de equação de Bernoulli, pois pode ser escrita na forma
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n}.
Vamos usar a técnica de Bernoulli: identificar P, Q e n, fazer a substituição adequada, resolver a equação linear resultante e depois voltar a y.

Passo 2

Rewrite a equação deixando o termo em y isolado:
\frac{dy}{dx} + \underbrace{\Bigl(-\frac{1}{x}\Bigr)}_{P(x)}\,y = \underbrace{\Bigl(-\frac{5}{2}x^{2}\Bigr)}_{Q(x)}\,y^{3}.
Aqui identificamos P(x)=-\tfrac1x, Q(x)=-\tfrac52x^2 e o expoente n=3.

Passo 3

Na equação de Bernoulli fazemos a substituição
u = y^{\,1-n} = y^{-2}.
Calculamos \tfrac{du}{dx} em função de \tfrac{dy}{dx}. Como u=y^{-2},
\frac{du}{dx} = -2\,y^{-3}\,\frac{dy}{dx}.

Passo 4

Substituindo \tfrac{dy}{dx} da equação original em \tfrac{du}{dx}:
\frac{dy}{dx} = -\frac{5}{2}x^{2}y^{3} + \frac{1}{x}\,y,
então
\frac{du}{dx} = -2\,y^{-3}\Bigl(-\tfrac{5}{2}x^{2}y^{3} + \tfrac{1}{x}y\Bigr) = 5x^{2} - \frac{2}{x}\,y^{-2} = 5x^{2} - \frac{2}{x}\,u.
Reescrevendo, obtemos a equação linear para u:
\frac{du}{dx} + \frac{2}{x}\,u = 5x^{2}.

Passo 5

Para resolver
\frac{du}{dx} + \frac{2}{x}\,u = 5x^{2}
calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int \tfrac{2}{x}\,dx\Bigr) = x^{2}.
Multiplicando tudo por x^{2} vem
x^{2}\,\frac{du}{dx} + 2x\,u = 5x^{4},
que é
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}u\bigr) = 5x^{4}.
Integrando em x:
x^{2}u = \int 5x^{4}\,dx = x^{5} + C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 6

Logo
u = y^{-2} = \frac{x^{5} + C}{x^{2}} = x^{3} + Cx^{-2}.
Voltando a y, temos
y^{-2} = x^{3} + Cx^{-2} \quad\Longrightarrow\quad y^{2} = \frac{1}{\,x^{3} + Cx^{-2}\,} = \frac{x^{2}}{\,x^{5} + C\,}.

Resposta

y(x) = \pm \frac{x}{\sqrt{x^{5} + C}},
onde C é a constante de integração.

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