Resolva as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial na forma
e pede a sua solução geral. O conteúdo que vamos usar é o de equações exatas e fator integrante: primeiro testamos se a forma
é exata e, caso não seja, buscamos um fator integrante que a torne exata.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Para achar um fator integrante que dependa só de
, usamos a condição
que de fato é função apenas de
. Logo o fator integrante é
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. Isso leva a
Verificamos que agora
ou seja, a forma é exata.
Passo 5
Buscamos a função potencial
tal que
Integrando
em relação a
, com
constante, obtemos
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
. Derivando isso em relação a
dá
que deve ser igual a
. Daí
, logo
é constante.
Resposta
A solução implícita geral é
onde
é a constante de integração.