Resolva as seguintes equações diferenciais:
\left(y+x(1-x)^{2}\right) d x+(1-x) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma
\bigl(y + x(1 - x)^2\bigr)\,dx + (1 - x)\,dy = 0
e pede a sua solução geral. O conteúdo que vamos usar é o de equações exatas e fator integrante: primeiro testamos se a forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 é exata e, caso não seja, buscamos um fator integrante que a torne exata.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = y + x(1 - x)^2, \qquad N(x,y) = 1 - x.
Calculamos as derivadas parciais
M_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y + x(1 - x)^2\bigr) = 1, \qquad N_x = \frac{\partial}{\partial x}(1 - x) = -1.
Como M_y \neq N_x, a equação não é exata.

Passo 3

Para achar um fator integrante que dependa só de x, usamos a condição
\frac{M_y - N_x}{N} = \frac{1 - (-1)}{1 - x} = \frac{2}{1 - x},
que de fato é função apenas de x. Logo o fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int \frac{2}{1 - x}\,dx\Bigr) = \exp\bigl(-2\ln|1 - x|\bigr) = (1 - x)^{-2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=(1 - x)^{-2}. Isso leva a
M^*(x,y) = \bigl(y + x(1 - x)^2\bigr)(1 - x)^{-2} = \frac{y}{(1 - x)^2} + x,
N^*(x,y) = (1 - x)\,(1 - x)^{-2} = \frac{1}{1 - x}.
Verificamos que agora
\frac{\partial M^*}{\partial y} = \frac{1}{(1 - x)^2}, \qquad \frac{\partial N^*}{\partial x} = \frac{1}{(1 - x)^2},
ou seja, a forma é exata.

Passo 5

Buscamos a função potencial \psi(x,y) tal que
\psi_x = M^*(x,y) \quad\text{e}\quad \psi_y = N^*(x,y).
Integrando \psi_x = \tfrac{y}{(1 - x)^2} + x em relação a x, com y constante, obtemos
\psi(x,y) = \int\!\Bigl(\frac{y}{(1 - x)^2} + x\Bigr)\,dx = \frac{y}{1 - x} + \frac{x^2}{2} + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y. Derivando isso em relação a y
\psi_y = \frac{1}{1 - x} + h'(y)
que deve ser igual a N^*(x,y)=\tfrac{1}{1 - x}. Daí h'(y)=0, logo h é constante.

Resposta

A solução implícita geral é
\frac{y}{1 - x} + \frac{x^2}{2} = C,
onde C é a constante de integração.

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