Resolva as seguintes equações diferenciais:
(x-3)(y+1) d x+\left(x y^{2}+2 x y+x\right) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial em forma diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com
M(x,y) = (x-3)(y+1), \quad N(x,y) = x\,(y+1)^2.
Queremos encontrar uma função de potencial F(x,y) tal que dF=0 seja equivalente à equação dada. Para isso, vamos verificar a exatidão e, se necessário, encontrar um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, checamos se a equação é exata:
\frac{\partial M}{\partial y} = x-3, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = (y+1)^2,
como x-3 \neq (y+1)^2, não é exata. Observamos porém que tanto M quanto N têm fatores em x e em (y+1). Tentamos, então, dividir a equação por x(y+1) (pressupondo x\neq0 e y\neq-1):
\frac{(x-3)(y+1)}{x(y+1)}\,dx + \frac{x\,(y+1)^2}{x(y+1)}\,dy =0 \;\;\Longrightarrow\;\; \underbrace{\frac{x-3}{x}}_{M_1}\,dx + \underbrace{(y+1)}_{N_1}\,dy =0.

Passo 3

Agora checamos exatidão para
M_1(x,y) = \frac{x-3}{x}, \quad N_1(x,y) = y+1.
Calculamos
\frac{\partial M_1}{\partial y} = 0, \qquad \frac{\partial N_1}{\partial x} = 0,
logo a equação tornou-se exata.

Passo 4

Como é exata, existe F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x} = M_1(x,y) = 1 - \frac{3}{x}.
Integramos em relação a x, tratando y como constante:
F(x,y) = \int\Bigl(1 - \frac{3}{x}\Bigr)\,dx = x - 3\ln\lvert x\rvert + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 5

Para achar h(y), usamos
\frac{\partial F}{\partial y} = h'(y)
que deve ser igual a N_1(x,y)=y+1. Assim,
h'(y) = y+1 \quad\Longrightarrow\quad h(y) = \int (y+1)\,dy = \frac{y^2}{2} + y.

Passo 6

Reunindo,
F(x,y) = x - 3\ln\lvert x\rvert + \frac{y^2}{2} + y = C,
onde C é constante arbitrária. Podemos multiplicar tudo por 2 para simplificar:
2x - 6\ln\lvert x\rvert + y^2 + 2y = K,
com K=2C.

Resposta

A solução implícita geral é
x - 3\ln\lvert x\rvert + \frac{y^2}{2} + y = C,
ou equivalentemente
2x - 6\ln\lvert x\rvert + y^2 + 2y = K,
onde C (ou K) é constante de integração.

Exercícios relacionados