Resolva as seguintes equações diferenciais.
\operatorname{sen} \theta d r+r \cos \theta d \theta=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial \sin\theta\,dr + r\cos\theta\,d\theta = 0.
Este é um problema de EDO de primeira ordem que podemos enxergar como uma forma diferencial exata ou, equivalentemente, resolver por separação de variáveis.

Passo 2

Vamos tratar como forma exata. Definimos
M(r,\theta) = \sin\theta, \quad N(r,\theta) = r\cos\theta,
de modo que a equação fica M\,dr + N\,d\theta=0.
Verificamos a condição de exatidão:
\frac{\partial M}{\partial \theta} = \cos\theta, \qquad \frac{\partial N}{\partial r} = \cos\theta.
Como \partial M/\partial\theta = \partial N/\partial r, a forma é exata.

Passo 3

Existe uma função potencial \Phi(r,\theta) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial r} = M(r,\theta) = \sin\theta, \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial \theta} = N(r,\theta) = r\cos\theta.
Integramos a primeira relação em r:
\Phi(r,\theta) = \int \sin\theta\,dr = r\sin\theta + h(\theta).
Agora derivamos esse resultado em \theta e igualamos a N:
\frac{\partial \Phi}{\partial \theta} = r\cos\theta + h'(\theta) \stackrel!= N = r\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad h'(\theta)=0 \;\Rightarrow\;h(\theta)=C_1.
Logo, \Phi(r,\theta)=r\sin\theta + C_1.

Passo 4

A solução geral implícita da equação é dada por
\Phi(r,\theta) = \text{constante},
isto é,
r\sin\theta = C,
com C uma constante arbitrária.
Podemos escrever também de forma explícita:
r = \frac{C}{\sin\theta}.

Resposta

A solução geral é
r\sin\theta = C,
ou equivalentemente
r = \frac{C}{\sin\theta}.

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