Resolva as seguintes equações diferenciais.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
.
Este é um problema de EDO de primeira ordem que podemos enxergar como uma forma diferencial exata ou, equivalentemente, resolver por separação de variáveis.
Este é um problema de EDO de primeira ordem que podemos enxergar como uma forma diferencial exata ou, equivalentemente, resolver por separação de variáveis.
Passo 2
Vamos tratar como forma exata. Definimos
de modo que a equação fica
.
Verificamos a condição de exatidão:
Verificamos a condição de exatidão:
Como
, a forma é exata.
Passo 3
Existe uma função potencial
tal que
Integramos a primeira relação em
:
Agora derivamos esse resultado em
e igualamos a
:
Logo,
.
Passo 4
A solução geral implícita da equação é dada por
isto é,
com
uma constante arbitrária.
Podemos escrever também de forma explícita:
Podemos escrever também de forma explícita:
Resposta
A solução geral é
ou equivalentemente