Resolva as seguintes equações diferenciais.
2 x(x+y) d x+\left(x^{2}+y^{2}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
2x(x+y)\,dx + (x^2 + y^2)\,dy = 0.
Esse tipo de equação pode ser tratada como uma equação exata, onde identificamos
M(x,y) = 2x(x+y), \quad N(x,y) = x^2 + y^2,
e procuramos uma função potencial \Psi(x,y) tal que d\Psi = M\,dx + N\,dy.

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl[2x(x+y)\bigr] = 2x,
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl[x^2 + y^2\bigr] = 2x.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos \Psi(x,y) integrando M em relação a x, tratando y como constante:
\Psi(x,y) = \int 2x(x+y)\,dx = \int \bigl(2x^2 + 2xy\bigr)\,dx = \frac{2}{3}x^3 + x^2y + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y.

Passo 4

Para determinar h(y), calculamos \Psi_y e igualamos a N:
\frac{\partial \Psi}{\partial y} = x^2 + h'(y) \overset{!}{=} x^2 + y^2 \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = y^2 \quad\Longrightarrow\quad h(y) = \frac{1}{3}y^3.

Passo 5

Substituindo h(y) em \Psi, obtemos a solução implícita
\Psi(x,y) = \frac{2}{3}x^3 + x^2y + \frac{1}{3}y^3 = C,
onde C é constante de integração. Multiplicando por 3 para simplificar,
2x^3 + 3x^2y + y^3 = C'.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
2x^3 + 3x^2y + y^3 = C,
em que C é constante de integração.

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