Resolva as seguintes equações diferenciais fundamentais
\frac{d y}{d x}=\cos ^{2} x+\operatorname{sen} 2 x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\cos^{2}x+\operatorname{sen}2x
e pede encontrar a solução geral y(x).
Informações importantes fornecidas:
  • A derivada de y em relação a x é dada explicitamente por uma função conhecida de x.
  • Não há condição inicial fornecida, então deve-se fornecer a solução geral com constante de integração.

Passo 2

Que tipo de equação temos e o que isso implica (explicação básica e motivação do método).
A equação está na forma \dfrac{dy}{dx}=f(x), ou seja, a derivada de y é uma função apenas de x. Nesses casos a solução segue imediatamente pela integração: basta integrar ambos os lados em x. Isso porque podemos escrever
dy=f(x)\,dx
e integrar para obter
y(x)=\int f(x)\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Vou usar isso aqui: integrar a função do lado direito para obter y(x).

Passo 3

Simplificar a expressão trigonométrica (mini-aula sobre identidades trigonométricas).
A expressão contém \cos^{2}x, que é mais fácil de integrar usando a identidade do ângulo duplo. A identidade é derivada de \cos 2x = 2\cos^{2}x - 1. Isolando \cos^{2}x obtemos
\cos^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}.
Sempre que aparecer \cos^{2}x é conveniente usar essa igualdade para reduzir potências ao argumento 2x, porque integrar \cos 2x é direto.

Passo 4

Reescrever o integrando usando a identidade (passo algébrico).
Substituindo a identidade na equação dada:
\frac{dy}{dx}=\cos^{2}x+\sin 2x=\frac{1+\cos 2x}{2}+\sin 2x.
Agora simplificamos termos:
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2x+\sin 2x.

Passo 5

Integrar termo a termo (mini-aula sobre integração de funções trigonométricas).
Usamos a linearidade da integral: integrar a soma é somar as integrais. Assim
y(x)=\int\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2x+\sin 2x\right)dx + C.
Vou integrar cada termo separadamente.
  • Integração do termo constante \dfrac{1}{2}:
\int \frac{1}{2}\,dx=\frac{1}{2}x.
  • Integração do termo \dfrac{1}{2}\cos 2x. Use substituição simples: seja u=2x, então du=2\,dx e dx=\dfrac{du}{2}. Assim
\int \frac{1}{2}\cos 2x\,dx=\frac{1}{2}\cdot\int \cos u\cdot\frac{du}{2}=\frac{1}{4}\int \cos u\,du=\frac{1}{4}\sin u=\frac{1}{4}\sin 2x.
(Regra geral: \int \cos(ax)\,dx=\dfrac{1}{a}\sin(ax)+\text{const}.)
  • Integração do termo \sin 2x. De novo use u=2x, dx=\dfrac{du}{2}:
\int \sin 2x\,dx=\int \sin u\cdot\frac{du}{2}=\frac{1}{2}\int \sin u\,du=-\frac{1}{2}\cos u=-\frac{1}{2}\cos 2x.
(Regra geral: \int \sin(ax)\,dx=-\dfrac{1}{a}\cos(ax)+\text{const}.)

Passo 6

Juntar todas as parcelas e escrever a solução geral.
Somando os resultados das integrais:
y(x)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x + C,
onde C é a constante de integração real.

Passo 7

Verificação rápida (sempre bom checar na prova).
Diferenciando a solução encontrada deve-se recuperar o integrando original:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x + C\right) =\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\cdot 2\cos 2x-\frac{1}{2}\cdot(-2)\sin 2x =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2x+\sin 2x,
que é exatamente o que obtivemos em Passo 4 . Convertendo de volta \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2x em \cos^{2}x, recuperamos
\cos^{2}x+\sin 2x,
logo a solução está correta.

Passo 8

Dicas rápidas para a prova (pequena revisão didática e encorajamento).
  • Quando vir \cos^{2}x ou \sin^{2}x, lembre-se das fórmulas de redução: \cos^{2}x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}, \sin^{2}x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}. Isso transforma potências em funções de múltiplos do ângulo, que são mais fáceis de integrar.
  • Para integrar \sin(ax) ou \cos(ax), usar a regra \int \sin(ax)\,dx=-\dfrac{1}{a}\cos(ax)+C e \int \cos(ax)\,dx=\dfrac{1}{a}\sin(ax)+C.
  • Sempre verifique diferenciando a resposta — isso costuma pegar erros simples de sinal ou fatores.
Você está indo bem — respira fundo e pratica mais alguns exercícios parecidos que eu te ajudo se travar 😉

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}\sin 2x-\dfrac{1}{2}\cos 2x + C

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