Resolva as seguintes equações diferenciais fundamentais
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede encontrar a solução geral
.
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
- A derivada de
em relação a é dada explicitamente por uma função conhecida de . - Não há condição inicial fornecida, então deve-se fornecer a solução geral com constante de integração.
Passo 2
Que tipo de equação temos e o que isso implica (explicação básica e motivação do método).
A equação está na forma , ou seja, a derivada de
é uma função apenas de
. Nesses casos a solução segue imediatamente pela integração: basta integrar ambos os lados em
. Isso porque podemos escrever
A equação está na forma
e integrar para obter
onde
é a constante de integração. Vou usar isso aqui: integrar a função do lado direito para obter
.
Passo 3
Simplificar a expressão trigonométrica (mini-aula sobre identidades trigonométricas).
A expressão contém , que é mais fácil de integrar usando a identidade do ângulo duplo. A identidade é derivada de
. Isolando
obtemos
A expressão contém
Sempre que aparecer
é conveniente usar essa igualdade para reduzir potências ao argumento
, porque integrar
é direto.
Passo 4
Reescrever o integrando usando a identidade (passo algébrico).
Substituindo a identidade na equação dada:
Substituindo a identidade na equação dada:
Agora simplificamos termos:
Passo 5
Integrar termo a termo (mini-aula sobre integração de funções trigonométricas).
Usamos a linearidade da integral: integrar a soma é somar as integrais. Assim
Usamos a linearidade da integral: integrar a soma é somar as integrais. Assim
Vou integrar cada termo separadamente.
- Integração do termo constante
:
- Integração do termo
. Use substituição simples: seja , então e . Assim
(Regra geral:
)
- Integração do termo
. De novo use , :
(Regra geral:
)
Passo 6
Juntar todas as parcelas e escrever a solução geral.
Somando os resultados das integrais:
Somando os resultados das integrais:
onde
é a constante de integração real.
Passo 7
Verificação rápida (sempre bom checar na prova).
Diferenciando a solução encontrada deve-se recuperar o integrando original:
Diferenciando a solução encontrada deve-se recuperar o integrando original:
que é exatamente o que obtivemos em
Passo 4
. Convertendo de volta
em
, recuperamos
logo a solução está correta.
Passo 8
Dicas rápidas para a prova (pequena revisão didática e encorajamento).
- Quando vir
ou , lembre-se das fórmulas de redução: , . Isso transforma potências em funções de múltiplos do ângulo, que são mais fáceis de integrar. - Para integrar
ou , usar a regra e . - Sempre verifique diferenciando a resposta — isso costuma pegar erros simples de sinal ou fatores.
Você está indo bem — respira fundo e pratica mais alguns exercícios parecidos que eu te ajudo se travar 😉