Resolva as seguintes equações diferenciais fundamentais
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede a solução geral
. Informações relevantes:
- A derivada de
em relação a foi dada explicitamente como uma função de . - Não há condição inicial fornecida, então devemos apresentar a solução geral com constante arbitrária.
Passo 2
Ideia principal (fórmula que vou usar): se uma equação tem a forma
então uma solução geral é dada por integrar
:
onde
é constante arbitrária. Explicando curto e doce: a derivada de
é
, então
é uma primitiva (antiderivada) de
; isso vem do Teorema Fundamental do Cálculo. Aqui
.
Passo 3
Vou integrar o primeiro termo separadamente. Para o polinômio
a primitiva é obtida pela regra da potência:
Breve explicação da regra:
para
. Aplicando com
dá
.
Passo 4
Agora a parte trigonométrica
. Há duas formas simples de integrar; mostro a mais direta por substituição e comento uma identidade alternativa.
Método por substituição:
- Seja
. Então . - Assim
Aqui
é uma constante que será absorvida na constante final
.
Comentário de identidade (equivalente): usando
teríamos
e isso difere da forma
apenas por uma constante (pois
). Ambas as formas são equivalentes para a solução geral.
Passo 5
Somando as primitivas dos termos e incluindo a constante
, obtemos a solução geral:
Passo 6
Verificação rápida (checada por derivação): diferenciar a solução obtida
que coincide com a equação dada. Portanto a solução está correta.