Resolva as seguintes equações diferenciais fundamentais
y^{\prime}(t)=t^{2}+\operatorname{sen}(t) \cos (t)

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
y'(t)=t^{2}+\operatorname{sen}(t)\cos(t)
e pede a solução geral y(t). Informações relevantes:
  • A derivada de y em relação a t foi dada explicitamente como uma função de t.
  • Não há condição inicial fornecida, então devemos apresentar a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

Ideia principal (fórmula que vou usar): se uma equação tem a forma
y'(t)=g(t),
então uma solução geral é dada por integrar g(t):
y(t)=\int g(t)\,dt + C,
onde C\in\mathbb{R} é constante arbitrária. Explicando curto e doce: a derivada de y é g, então y é uma primitiva (antiderivada) de g; isso vem do Teorema Fundamental do Cálculo. Aqui g(t)=t^{2}+\sin(t)\cos(t).

Passo 3

Vou integrar o primeiro termo separadamente. Para o polinômio t^{2} a primitiva é obtida pela regra da potência:
\int t^{2}\,dt=\frac{t^{3}}{3}.
Breve explicação da regra: \int t^{n}\,dt=\dfrac{t^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Aplicando com n=2 \dfrac{t^{3}}{3}.

Passo 4

Agora a parte trigonométrica \sin(t)\cos(t). Há duas formas simples de integrar; mostro a mais direta por substituição e comento uma identidade alternativa.
Método por substituição:
  • Seja u=\sin(t). Então du=\cos(t)\,dt.
  • Assim
\int \sin(t)\cos(t)\,dt=\int u\,du=\frac{u^{2}}{2}+\tilde{C}=\frac{\sin^{2}(t)}{2}+\tilde{C}.
Aqui \tilde{C} é uma constante que será absorvida na constante final C.
Comentário de identidade (equivalente): usando \sin(t)\cos(t)=\tfrac{1}{2}\sin(2t) teríamos
\int \sin(t)\cos(t)\,dt=\frac{1}{2}\int \sin(2t)\,dt=-\frac{1}{4}\cos(2t)+\tilde{C},
e isso difere da forma \tfrac{1}{2}\sin^{2}(t) apenas por uma constante (pois \tfrac{1}{2}\sin^{2}t=\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{4}\cos(2t)). Ambas as formas são equivalentes para a solução geral.

Passo 5

Somando as primitivas dos termos e incluindo a constante C, obtemos a solução geral:
y(t)=\frac{t^{3}}{3}+\frac{\sin^{2}(t)}{2}+C,\qquad C\in\mathbb{R}.

Passo 6

Verificação rápida (checada por derivação): diferenciar a solução obtida
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{t^{3}}{3}+\frac{\sin^{2}(t)}{2}+C\right)=t^{2}+\frac{1}{2}\cdot 2\sin(t)\cos(t)=t^{2}+\sin(t)\cos(t),
que coincide com a equação dada. Portanto a solução está correta.

Resposta

y(t)=\frac{t^{3}}{3}+\frac{\sin^{2}(t)}{2}+C,\quad C\in\mathbb{R}

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