Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas:
y^prime prime+4 y^prime+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y' + 4y = 0
Este é um problema de equações diferenciais ordinárias lineares homogêneas de segunda ordem; vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica associada, trocando y por e^rx:
r^2 + 4r + 4 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante dessa equação quadrática:
De<a = 4^2 - 4cdot1cdot4 = 16 - 16 = 0
Como De<a=0, há uma raiz real dupla
r = -42 = -2

Passo 4

Para raiz dupla r=-2, a forma geral da solução é
y(x) = l(C1 + C2,xr)e^rx
Substituindo r=-2, obtemos
y(x) = l(C1 + C2,xr)e^-2x

Resposta

y(x) = l(C1 + C2,xr)e^-2x

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