Verifique se os conjuntos de funções a seguir são linearmente independentes no espaço das funções reais. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto é linearmente independente no espaço das funções reais. O conteúdo é independência linear em espaços de funções e vamos usar a definição: uma combinação linear que seja a função zero em todo domínio deve ter todos os coeficientes nulos.
Passo 2
Suponha que existam escalares tais que, para todo ,
Queremos mostrar que isso implica .
Passo 3
Avalie a combinação em pontos estratégicos:
em : , dá
em : , dá
em : , dá
Passo 4
Resolvendo o sistema
da primeira equação vem c=-b. Substituindo na terceira:
Como a única solução é a=b=c=0, concluímos que não há combinação linear não trivial que zere todas as funções simultaneamente. Portanto o conjunto é linearmente independente.
Resposta
As funções sin x, cos x e 1 são linearmente independentes.