Verifique se os conjuntos de funções a seguir são linearmente independentes no espaço das funções reais. Justifique sua resposta.
sin x, cos x, 1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto sin x,cos x,1 é linearmente independente no espaço das funções reais. O conteúdo é independência linear em espaços de funções e vamos usar a definição: uma combinação linear que seja a função zero em todo domínio deve ter todos os coeficientes nulos.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,c tais que, para todo xinR,
asin x + bcos x + c = 0
Queremos mostrar que isso implica a=b=c=0.

Passo 3

Avalie a combinação em pontos estratégicos:
em x=0: sin0=0, cos0=1
b + c = 0
em x=tfracpi2: sin(tfracpi2)=1, cos(tfracpi2)=0
a + c = 0
em x=pi: sinpi=0, cospi=-1
-b + c = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema
b + c = 0, a + c = 0, -b + c = 0,
da primeira equação vem c=-b. Substituindo na terceira:
-b + (-b)=0;Longrightarrow;-2b=0;Longrightarrow;b=0,;c=0
Então da segunda a+0=0 obtém-se a=0.

Passo 5

Como a única solução é a=b=c=0, concluímos que não há combinação linear não trivial que zere todas as funções simultaneamente. Portanto o conjunto é linearmente independente.

Resposta

As funções sin x, cos x e 1 são linearmente independentes.

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