Verifique se os conjuntos de funções a seguir são linearmente independentes no espaço das funções reais. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto de funções
com
e pede para verificar se elas são linearmente independentes no espaço de todas as funções de
em
. Vamos usar a definição: são independentes se, da igualdade da combinação linear à função zero, segue que todos os coeficientes são nulos.
Passo 2
Escrevemos a combinação linear genérica igual à função zero:
ou seja,
para todo
.
Passo 3
Expandindo a soma,
essa expressão deve ser a função identicamente zero, logo os coeficientes de
e o termo constante devem ser nulos:
Passo 4
Resolvendo o sistema:
da segunda equação vem . Substituindo na primeira,
da segunda equação vem
Logo
,
,
para qualquer
. Se
obtemos uma combinação não trivial que vale zero, o que mostra dependência linear.
Resposta
O conjunto
é linearmente dependente.