Verifique se os conjuntos de funções a seguir são linearmente independentes no espaço das funções reais. Justifique sua resposta.
x, x+1, x+2

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto de funções
f1,f2,f3 com
f1(x)=x, f2(x)=x+1, f3(x)=x+2
e pede para verificar se elas são linearmente independentes no espaço de todas as funções de R em R. Vamos usar a definição: são independentes se, da igualdade da combinação linear à função zero, segue que todos os coeficientes são nulos.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear genérica igual à função zero:
alpha,f1(x)+beta,f2(x)+gamma,f3(x)=0
ou seja,
alpha x + beta(x+1) + gamma(x+2) = 0
para todo xinR.

Passo 3

Expandindo a soma,
alpha x + beta x + beta + gamma x + 2gamma = (alpha+beta+gamma),x + (beta+2gamma)
essa expressão deve ser a função identicamente zero, logo os coeficientes de x e o termo constante devem ser nulos:
alpha+beta+gamma=0, beta+2gamma=0

Passo 4

Resolvendo o sistema:
da segunda equação vem beta=-2gamma. Substituindo na primeira,
alpha +(-2gamma)+gamma=0 Longrightarrow alpha-gamma=0 Longrightarrow alpha=gamma
Logo alpha=t, beta=-2t, gamma=t para qualquer tinR. Se tneq0 obtemos uma combinação não trivial que vale zero, o que mostra dependência linear.

Resposta

O conjunto x,,x+1,,x+2 é linearmente dependente.

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