Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas:
y^prime prime+y^prime-2 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y' - 2y = 0
O conteúdo utilizado será a técnica da equação característica para EDOs lineares homogêneas.

Passo 2

Assumimos solução do tipo y=e^lambda x. Substituindo na equação, obtemos a equação característica
lambda^2 + lambda - 2 = 0

Passo 3

Resolvendo
lambda^2 + lambda - 2 = 0
usamos a fórmula de Bhaskara: De<a = 1^2 - 4cdot1cdot(-2)=9, logo
lambda = -1 pm raiz92 = -1 pm 32,
isto é, lambda1 = 1 e lambda2 = -2. Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é combinação linear de e^lambda1 x e e^lambda2 x.

Passo 4

Conclusão: a solução geral da EDO é
y(x) = C1 e^lambda1 x + C2 e^lambda2 x = C1 e^x + C2 e^-2x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 e^x + C2 e^-2x

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