Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas:
y^prime prime-2 y^prime-3 y=0

Passo 1

O enunciado pede resolver uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Mais precisamente,
y'' - 2y' - 3y = 0
Para isso, vamos usar o método do polinômio característico, que transforma a EDO em uma equação algébrica em r.

Passo 2

Suponha uma solução da forma y = e^rx. Então
y' = r e^rx, y'' = r^2 e^rx
Substituindo em
y'' - 2y' - 3y = 0
vem
e^rxl(r^2 - 2r - 3r) = 0
Como e^rxneq 0, o fator que anula deve ser
r^2 - 2r - 3 = 0,
que é o polinômio característico.

Passo 3

Resolvendo
r^2 - 2r - 3 = 0
pela fórmula de Bhaskara,
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4cdot1cdot(-3)2 = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm 42,
obtemos as raízes
r1 = 3, r2 = -1

Passo 4

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x = C1 e^3x + C2 e^-x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais.

Resposta

y(x) = C1 e^3x + C2 e^-x

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