Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas:
y^prime prime+9 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y'' + 9y = 0
que é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
r^2 + 9 = 0
Resolvendo, temos
r^2 = -9 Longrightarrow r = pm 3,i

Passo 3

Como as raízes r1 = 3,i e r2 = -3,i são complexas conjugadas da forma 0 pm 3,i, a solução geral da equação diferencial é dada por
y(x) = e^0cdot xl(C1cos(3x) + C2sin(3x)r)

Passo 4

Como e^0cdot x = 1, simplificamos a solução para
y(x) = C1cos(3x) + C2sin(3x),
onde C1 e C2 são constantes de integração determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

y(x) = C1cos(3x) + C2sin(3x)

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