Resolva as seguintes equações diferenciais não-homogêneas pelo método dos coeficientes a determinar:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea
pelo método dos coeficientes a determinar. Vamos precisar (1) resolver a equação homogênea associada e (2) encontrar uma solução particular para o termo forçante
.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a parte homogênea
A equação característica é
cuja solução vem de fatorar
, dando
e
. Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para achar uma solução particular
de
notamos que
já aparece na solução homogênea (raiz
), então multiplicamos o palpite usual
por
. Assim tentamos
onde
é constante a determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo em
:
Fatorando
:
Isso deve igualar
, ou seja
, de onde
e portanto
Logo
Passo 5
A solução geral da equação dada é a soma da homogênea com a particular: