Resolva as seguintes equações diferenciais não-homogêneas pelo método dos coeficientes a determinar:
y^prime prime-3 y^prime+2 y=e^x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea
y'' - 3y' + 2y = e^x
pelo método dos coeficientes a determinar. Vamos precisar (1) resolver a equação homogênea associada e (2) encontrar uma solução particular para o termo forçante e^x.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a parte homogênea
y'' - 3y' + 2y = 0
A equação característica é
r^2 - 3r + 2 = 0,
cuja solução vem de fatorar (r-1)(r-2)=0, dando r=1 e r=2. Logo a solução geral da homogênea é
yh(x) = C1 e^x + C2 e^2x

Passo 3

Para achar uma solução particular yp de
y'' - 3y' + 2y = e^x,
notamos que e^x já aparece na solução homogênea (raiz r=1), então multiplicamos o palpite usual A e^x por x. Assim tentamos
yp(x) = A x e^x,
onde A é constante a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = A e^x + A x e^x = A e^x(1 + x),
yp'' = A e^x(1 + x) + A e^x = A e^x(2 + x)
Substituindo em y'' - 3y' + 2y:
yp'' - 3yp' + 2yp = A e^x(2 + x) - 3A e^x(1 + x) + 2A x e^x
Fatorando A e^x:
A e^xl(2 + x - 3(1 + x) + 2xr) = A e^xl(2 + x - 3 - 3x + 2xr) = A e^x(-1)
Isso deve igualar e^x, ou seja -A e^x = e^x, de onde -A = 1 e portanto
A = -1
Logo
yp(x) = -x e^x

Passo 5

A solução geral da equação dada é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^x + C2 e^2x - x e^x

Resposta

y(x) = C1 e^x + C2 e^2x - x e^x

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