Resolva as seguintes equações diferenciais não homogêneas.
y^prime prime-2 y^prime-8 y=4 e^2 x-21 e^-3 x

Passo 1

Beleza, o enunciado manda a gente resolver a equação diferencial não homogênea
y'' - 2y' - 8y = 4e^2x -21e^-3x
Isso é um problema de EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai precisar de:
1. Resolver a parte homogênea ( y'' -2y' -8y=0) pra achar a solução geral dessa parte.
2. Encontrar uma solução particular para cada termo do lado direito (usando o método dos coeficientes a determinar).
3. Juntar tudo (solução geral = homogênea + particular).

Passo 2

Primeiro, a gente faz a parte homogênea:
y'' -2y' -8y = 0
Teoria rápida: a gente tenta y=e^rx, daí vira a equação característica
r^2 -2r -8 = 0
Resolvendo:
r = 2 pm raiz4 +322 = 2 pm 62 ;Longrightarrow; r1 = 4,; r2 = -2
Logo a solução geral da homogênea é
yh(x) = C1e^4x + C2e^-2x

Passo 3

Agora a parte particular. O lado direito tem dois termos: 4e^2x e -21e^-3x. A ideia do método dos coeficientes a determinar é “chutar” um formato parecido:
  1. Para 4e^2x, como r=2 não é raiz da característica, a gente chuta
yp1 = A,e^2x
2) Para -21e^-3x, como r=-3 também não aparece na homogênea, chutamos
yp2 = B,e^-3x
No fim a solução particular é yp = yp1+yp2.

Passo 4

Vamos achar A e B substituindo no LHS da equação original:
Para yp1=A e^2x:
  • y'p1=2A e^2x
  • y''p1=4A e^2x
    Substituindo em y'' -2y' -8y
4A e^2x -2,(2A e^2x) -8,(A e^2x) =(4A -4A -8A)e^2x =-8A e^2x
Isso tem que bater com 4e^2x, logo
-8A = 4 Longrightarrow A = -tfrac12
Para yp2=B e^-3x:
  • y'p2=-3B e^-3x
  • y''p2=9B e^-3x
    Substituindo:
9B e^-3x -2(-3B e^-3x) -8(B e^-3x) =(9B +6B -8B)e^-3x =7B e^-3x
Isso tem que ser -21e^-3x, então
7B = -21 Longrightarrow B = -3

Passo 5

Juntando tudo:
Solução geral = solução homogênea + particular
y(x) = C1 e^4x + C2 e^-2x ;+; l(-tfrac12 e^2xr) ;+; l(-3e^-3xr)

Resposta

boxedy(x) = C1 e^4x + C2 e^-2x - tfrac12,e^2x -3,e^-3x

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