Resolva as seguintes equações diferenciais não homogêneas.
Passo 1
Beleza, o enunciado manda a gente resolver a equação diferencial não homogênea
Isso é um problema de EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai precisar de:
1. Resolver a parte homogênea (
2. Encontrar uma solução particular para cada termo do lado direito (usando o método dos coeficientes a determinar).
3. Juntar tudo (solução geral = homogênea + particular).
Passo 2
Primeiro, a gente faz a parte homogênea:
Teoria rápida: a gente tenta
Resolvendo:
Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Agora a parte particular. O lado direito tem dois termos:
e
. A ideia do método dos coeficientes a determinar é “chutar” um formato parecido:
- Para
, como não é raiz da característica, a gente chuta
2) Para
No fim a solução particular é
.
Passo 4
Vamos achar
e
substituindo no LHS da equação original:
Para
:
-
-
Substituindo emdá
Isso tem que bater com
, logo
Para
:
-
-
Substituindo:
Isso tem que ser
, então
Passo 5
Juntando tudo:
Solução geral = solução homogênea + particular
Solução geral = solução homogênea + particular