Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas:
\left(x^{2}-y^{2}\right) d x-2 x y d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial (homogênea)
\left(x^{2}-y^{2}\right)\,dx-2xy\,dy=0.
Informações dadas:
  • A equação está escrita em forma diferencial com termos em dx e dy.
  • Os coeficientes são funções polinomiais em x e y: x^{2}-y^{2} e -2xy.
  • A tarefa é encontrar a solução geral (família de curvas) que satisfaz essa equação diferencial.

Passo 2

Primeiro vou colocar a equação numa forma mais usual para trabalhar com derivadas: isolar dy/dx. Parto de
\left(x^{2}-y^{2}\right)\,dx-2xy\,dy=0.
Passo o termo com dy para o outro lado e divido por dx:
\left(x^{2}-y^{2}\right)=2xy\frac{dy}{dx}.
Assim obtenho a forma explícita
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}-y^{2}}{2xy}.

Passo 3

Vou observar a razão entre os termos do lado direito. Note que ambos x^{2} e y^{2} têm grau 2 — isso indica que a razão pode ser expressa como função de y/x. Para aproveitar isso, faço a substituição padrão para equações homogêneas: defino
v=\frac{y}{x}\quad\Rightarrow\quad y=vx.
Explico a ideia: v é a “inclinação” relativa de y a x; transformar em v reduz a dependência de x e geralmente permite separar variáveis.
Também preciso da derivada dy/dx em termos de v. Derivando y=vx em relação a x (tratando v como função de x):
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.

Passo 4

Substituo y=vx e \dfrac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx} na equação \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x^{2}-y^{2}}{2xy}.
No numerador e denominador do lado direito:
x^{2}-y^{2}=x^{2}-(vx)^{2}=x^{2}-v^{2}x^{2}=x^{2}(1-v^{2}),
2xy=2x(vx)=2v x^{2}.
Portanto o lado direito fica
\frac{x^{2}(1-v^{2})}{2v x^{2}}=\frac{1-v^{2}}{2v}.
Logo a equação substituída é
v+x\frac{dv}{dx}=\frac{1-v^{2}}{2v}.

Passo 5

Agora vou isolar \dfrac{dv}{dx}. Subtraindo v de ambos os lados:
x\frac{dv}{dx}=\frac{1-v^{2}}{2v}-v.
Coloco em um único quociente:
\frac{1-v^{2}}{2v}-v=\frac{1-v^{2}-2v^{2}}{2v}=\frac{1-3v^{2}}{2v}.
Assim
x\frac{dv}{dx}=\frac{1-3v^{2}}{2v}.
Dividindo por x obtenho
\frac{dv}{dx}=\frac{1-3v^{2}}{2v\,x}.

Passo 6

A equação para v está pronta para separar variáveis. Reescrevo para ter todos os termos em v do lado esquerdo e x do lado direito:
\frac{2v}{1-3v^{2}}\,dv=\frac{dx}{x}.
Agora integro ambos os lados. Começo pela integral à esquerda:
\int \frac{2v}{1-3v^{2}}\,dv.
Faço a substituição auxiliar u=1-3v^{2}. Então du=-6v\,dv, ou v\,dv=-\dfrac{1}{6}\,du. Assim
\int \frac{2v}{1-3v^{2}}\,dv=2\int \frac{v\,dv}{u}=2\left(-\frac{1}{6}\right)\int \frac{du}{u}=-\frac{1}{3}\ln|u|+C_1.
Voltando para v: isso é
-\frac{1}{3}\ln|1-3v^{2}|+C_1.
A integral do lado direito é simples:
\int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C_2.
Junto as constantes C_1 e C_2 numa só constante C. Igualando as integrais:
-\frac{1}{3}\ln|1-3v^{2}|=\ln|x|+C.

Passo 7

Vou manipular essa expressão para obter a solução implícita em x e y. Multiplicando por -3:
\ln|1-3v^{2}|=-3\ln|x|+C',
onde C'=-3C. Exponenciando ambos os lados:
|1-3v^{2}|=K\,x^{-3},
com K=e^{C'} (constante positiva; o sinal absoluto pode ser absorvido permitindo K assumir sinal arbitrário). Para simplificar, escrevo
1-3v^{2}=C x^{-3},
com C constante arbitrária (real). Lembro que v=\dfrac{y}{x}. Substituo:
1-3\left(\frac{y}{x}\right)^{2}=C x^{-3}.
Multiplico ambos os lados por x^{3}:
x^{3}-3x y^{2}=C.
Isso é a solução implícita geral da equação diferencial: uma família de curvas dada por
x^{3}-3x y^{2}=C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 8

Breve verificação (para aumentar confiança): diferencio implicitamente \,x^{3}-3xy^{2}=C em relação a x:
3x^{2}-3y^{2}-6xy\frac{dy}{dx}=0.
Reorganizando:
3x^{2}-3y^{2}=6xy\frac{dy}{dx}\quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}-y^{2}}{2xy},
que é exatamente a forma que obtivemos no início. Assim a família encontrada satisfaz a equação diferencial.

Passo 9

Observações sobre soluções especiais: para C=0 a solução implícita é
x^{3}-3x y^{2}=0\quad\Leftrightarrow\quad x\bigl(x^{2}-3y^{2}\bigr)=0,
ou seja x=0 (linha vertical, não é função y(x) típica) ou y=\pm \dfrac{x}{\sqrt{3}}. Estas retas y=\pm \dfrac{x}{\sqrt{3}} são soluções (caso particular) e correspondem aos casos em que 1-3v^{2}=0 na separação de variáveis.

Resposta

x^{3}-3x y^{2}=C, onde C é constante real.

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