Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial (homogênea)
Informações dadas:
- A equação está escrita em forma diferencial com termos em
e . - Os coeficientes são funções polinomiais em
e : e . - A tarefa é encontrar a solução geral (família de curvas) que satisfaz essa equação diferencial.
Passo 2
Primeiro vou colocar a equação numa forma mais usual para trabalhar com derivadas: isolar
. Parto de
Passo o termo com
para o outro lado e divido por
:
Assim obtenho a forma explícita
Passo 3
Vou observar a razão entre os termos do lado direito. Note que ambos
e
têm grau
— isso indica que a razão pode ser expressa como função de
. Para aproveitar isso, faço a substituição padrão para equações homogêneas: defino
Explico a ideia:
é a “inclinação” relativa de
a
; transformar em
reduz a dependência de
e geralmente permite separar variáveis.
Também preciso da derivada
em termos de
. Derivando
em relação a
(tratando
como função de
):
Passo 4
Substituo
e
na equação
.
No numerador e denominador do lado direito:
No numerador e denominador do lado direito:
Portanto o lado direito fica
Logo a equação substituída é
Passo 5
Agora vou isolar
. Subtraindo
de ambos os lados:
Coloco em um único quociente:
Assim
Dividindo por
obtenho
Passo 6
A equação para
está pronta para separar variáveis. Reescrevo para ter todos os termos em
do lado esquerdo e
do lado direito:
Agora integro ambos os lados. Começo pela integral à esquerda:
Faço a substituição auxiliar
. Então
, ou
. Assim
Voltando para
: isso é
A integral do lado direito é simples:
Junto as constantes
e
numa só constante
. Igualando as integrais:
Passo 7
Vou manipular essa expressão para obter a solução implícita em
e
. Multiplicando por
:
onde
. Exponenciando ambos os lados:
com
(constante positiva; o sinal absoluto pode ser absorvido permitindo
assumir sinal arbitrário). Para simplificar, escrevo
com
constante arbitrária (real). Lembro que
. Substituo:
Multiplico ambos os lados por
:
Isso é a solução implícita geral da equação diferencial: uma família de curvas dada por
onde
é constante arbitrária.
Passo 8
Breve verificação (para aumentar confiança): diferencio implicitamente
em relação a
:
Reorganizando:
que é exatamente a forma que obtivemos no início. Assim a família encontrada satisfaz a equação diferencial.
Passo 9
Observações sobre soluções especiais: para
a solução implícita é
ou seja
(linha vertical, não é função
típica) ou
. Estas retas
são soluções (caso particular) e correspondem aos casos em que
na separação de variáveis.